Синус (sin x) и косинус (cos x) – свойства, графики, формулы

Принятые обозначения

( sin^2 x equiv (sin x)^2; )( quad sin^3 x equiv (sin x)^3; )( quad sin^n x equiv (sin x)^n )( sin^{-1} x equiv arcsin x )( (sin x )^{-1} equiv dfrac1{sin x} equiv cosec x ).

( cos^2 x equiv (cos x)^2; )( quad cos^3 x equiv (cos x)^3; )( quad cos^n x equiv (cos x)^n )( cos^{-1} x equiv arccos x )( (cos x )^{-1} equiv dfrac1{cos x} equiv sec x ).

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

( sin(x + 2pi) = sin x; quad )( cos(x + 2pi) = cos x )

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

( sin( -x ) = – sin x; quad )( cos( -x ) = cos x )

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n – целое).

Основные формулы, содержащие синус и косинус

Сумма квадратов

( sin^2 x + cos^2 x = 1 )

Формулы синуса и косинуса суммы и разности

( sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y )( sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y )( cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y )( cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y )

( sin( 2x ) = 2 sin x cos x )( cos( 2x ) = cos^2 x – sin^2 x = )( 2 cos^2 x – 1 = 1 – 2 sin^2 x )( cosleft( dfrac{pi}2 – x right) = sin x ) ; ( sinleft( dfrac{pi}2 – x right) = cos x )( cos( x + pi ) = – cos x ) ; ( sin( x + pi ) = – sin x )

Формулы произведения синусов и косинусов

( sin x cos y = )( dfrac12 {Large [} sin( x – y ) + sin( x + y ) {Large ]} )( sin x sin y = )( dfrac12 {Large [} cos( x – y ) – cos( x + y ) {Large ]} )( cos x cos y = )( dfrac12 {Large [} cos( x – y ) + cos( x + y ) {Large ]} )

( sin x cos y = dfrac12 sin 2x )( sin^2 x = dfrac12 {Large [} 1 – cos 2x {Large ]} )( cos^2 x = dfrac12 {Large [} 1 + cos 2x {Large ]} )

Формулы суммы и разности

( sin x + sin y = 2 , sin dfrac{x+y}2 , cos dfrac{x-y}2 )( sin x – sin y = 2 , sin dfrac{x-y}2 , cos dfrac{x+y}2 )( cos x + cos y = 2 , cos dfrac{x+y}2 , cos dfrac{x-y}2 )( cos x – cos y = 2 , sin dfrac{x+y}2 , sin dfrac{y-x}2 )

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что ( n ) – целое число.

( sin x = cosleft( dfrac{pi}2 – x right) = )( cosleft( x – dfrac{pi}2 right) = – cosleft( x + dfrac{pi}2 right) )( sin^2 x = 1 – cos^2 x )( sin x = sqrt{1 – cos^2 x} )( { 2 pi n leqslant x leqslant pi + 2 pi n } )( sin x = – sqrt{1 – cos^2 x} )( { -pi + 2 pi n leqslant x leqslant 2 pi n } ).

Выражение косинуса через синус

( cos x = sinleft( dfrac{pi}2 – x right) = )( – sinleft( x – dfrac{pi}2 right) = sinleft( x + dfrac{pi}2 right) )( cos^2 x = 1 – sin^2 x )( cos x = sqrt{1 – sin^2 x} )( { -pi/2 + 2 pi n leqslant x leqslant pi/2 + 2 pi n } )( cos x = – sqrt{1 – sin^2 x} )( { pi/2 + 2 pi n leqslant x leqslant 3pi/2 + 2 pi n } ).

Выражение через тангенс

( sin^2 x = dfrac{tg^2 x}{1+tg^2 x} )( cos^2 x = dfrac1{1+tg^2 x} ).

При ( – dfrac{pi}2 + 2 pi n < x < dfrac{pi}2 + 2 pi n )( sin x = dfrac{tg x}{ sqrt{1+tg^2 x} } )( cos x = dfrac1{ sqrt{1+tg^2 x} } ).

При ( dfrac{pi}2 + 2 pi n < x < dfrac{3pi}2 + 2 pi n ) : ( sin x = – dfrac{tg x}{ sqrt{1+tg^2 x} } )( cos x = – dfrac1{ sqrt{1+tg^2 x} } ).

Выражения через гиперболические функции

( sin iz = i sh z )( cos iz = ch z )( sh iz = i sin z )( ch iz = cos z )

Разложения в ряды

( sin x = sum_{n=0}^{infty} dfrac{ (-1)^n x^{2n+1} }{ (2n+1)! } = )( x – dfrac{x^3}{3!} + dfrac{x^5}{5!} – dfrac{x^7}{7!} + … )( {- infty < x < infty } )( cos x = sum_{n=0}^{infty} dfrac{ (-1)^n x^{2n} }{ (2n)! } = )( 1 – dfrac{x^2}{2!} + dfrac{x^4}{4!} – dfrac{x^6}{6!} + … )( { – infty < x < infty } )

Интегралы

( int sin x , dx = – cos x + C )( int cos x , dx = sin x + C ) См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>