Поиск различных чётных натуральных делителей чисел в определённом промежутке

Как определить количество делителей конкретного числа

Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как <math><mi>a</mi><mo>=</mo><msubsup><mi>p</mi><mn>1</mn><msub><mi>s</mi><mn>1</mn></msub></msubsup><mo>·</mo><msubsup><mi>p</mi><mn>2</mn><msub><mi>s</mi><mn>2</mn></msub></msubsup><mo>·</mo><mo>…</mo><mo>·</mo><msubsup><mi>p</mi><mi>n</mi><msub><mi>s</mi><mi>n</mi></msub></msubsup></math>, нужно найти значение выражения <math><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>·</mo><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>·</mo><mo>…</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math>. О количестве наборов переменных <math><msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo></mrow></msub><mo> </mo><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><mo> </mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>t</mi><mi>n</mi></msub></math> мы можем судить по величине записанного выражения.

Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа <math><mn>3</mn><mo> </mo><mn>900</mn></math>, которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: <math><mn>3</mn><mo> </mo><mn>900</mn><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>·</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><msup><mn>5</mn><mn>2</mn></msup><mo>·</mo><mn>13</mn></math>. Значит, <math><msub><mi>s</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>s</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>s</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>s</mi><mn>4</mn></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math>. Теперь подставим значения <math><msub><mi>s</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>s</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>s</mi><mn>3</mn></msub></math> и <math><msub><mi>s</mi><mn>4</mn></msub></math> в выражение <math><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>·</mo><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>·</mo><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mn>3</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>·</mo><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mn>4</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> и вычислим его значение. Имеем <math><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>36</mn></math>. Значит, это число имеет всего <math><mn>36</mn></math> делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет <math><mn>72</mn></math> делителя.

Пример 4

Условие: определите, сколько делителей имеет <math><mn>84</mn></math>.

Решение 

Раскладываем число на множители.

<math><menclose><mtable><mtr><mtd><mn>84</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>42</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>21</mn><mn>7</mn><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></menclose><mtable><mtr><mtd><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mn>7</mn></mtd></mtr></mtable></math>

Записываем каноническое разложение: <math><mn>84</mn><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>·</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mn>7</mn></math>. Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: <math><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mn>12</mn></math>. Для учета отрицательных нужно умножить это число на <math><mn>2</mn><mo>:</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>12</mn><mo>=</mo><mn>24</mn></math>.

Ответ: всего у <math><mn>84</mn></math> будет <math><mn>24</mn></math> делителя – <math><mn>12</mn></math> положительных и <math><mn>12</mn></math> отрицательных.

Как определить, является ли число простым?

Очень простой способ понять, является ли число простым — нужно его разделить на простые числа и посмотреть, получится ли целое число. Сначала нужно попробовать его разделить на 2 и/или на 3. Если получилось целое число, то оно не является простым.

Если после первого деления не получилось целого числа, значит нужно попробовать разделить его на другие простые числа: 5, 7, 11 и т. д. (на 9 делить не нужно, т. к. это не простое число и оно делится на 3, а на него вы уже делили).

Более структурированный метод — это решето Эратосфена.

Что такое разложение числа на множители?

Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это представление называется разложением числа на простые множители.

Натуральное число называется делителем целого числа если для подходящего целого числа верно равенство . В этом случае говорят, что делится на или что число кратно числу.

Простым числом называют натуральное число , делящееся только на себя и на единицу. Составным числом называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое натуральное число не равное имеет как минимум два делителя: и ). Например, числа – простые, а числа – составные.

Основная теорема арифметики.Любое натуральное число большее единицы, можно разложить в произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Взаимно простые числа

Это натуральные числа, у которых 1 — это единственный общий делитель. Например:

  • 14 (это 2 х 7) и 15 (это 3 х 5), единственный общий делитель — 1; если числа следуют одно за другим (как 13 и 12 либо 10 и 11), то они всегда будут взаимно простыми;
  • 7 (это 7 х 1) и 11 (это 11 х 1) — это два простых числа, а значит единственный общий делитель всегда будет только единица, простые числа всегда являются взаимно простыми;
  • или 30 и 48 не являются взаимно простыми, т. к. 6 х 5 = 30 и 6 х 8 = 48 и 6 — это наибольший общий делитель, т. е.: НОД (30; 48) = 6.

Почему 1 не является простым числом?

Российские математики Боревич и Шафаревич в своей знаменитой работе «Теория чисел» (1964 г.) определяют простое число как p (элемент кольца D), не равен ни 0, ни 1. И p можно называть простым числом, если его невозможно разложить на множители ab (т.е. p = ab), притом ни один из них не является единицей в D. Так как 1 невозможно представить ни в одном, ни в другом виде, 1 не считается ни простым числом, ни составным.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий