Перевод чисел в двоичную, шестнадцатеричную, десятичную, восьмеричную системы счисления

Двоичная система счисления

Как всегда, определение:

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих устройствах на их основе.

dvoichnaya-sistema-schisleniya.jpgВ двоичной системе все числа записываются двумя цифрами — и 1 (поэтому и двоичная. и поэтому — с основанием 2).Двоичная система счисленияосновная система для нашего общения с микроконтроллером (да и со всей цифровой техникой). Почему именно двоичная система. Дело в том, что своих «мозгов» у цифровой технике нет, и распознают они цифры не глазами, а уровнями напряжения на своих входах. Для распознавания «0» и «1» достаточно двух уровней напряжения (а если бы пользовались десятичной системой счисления, то понадобилось бы уже десять уровней напряжения).

Принято считать, что:цифре 1 соответствует высокий уровень напряженияцифре 0 соответствует низкий уровень напряжения

В цифровой технике высокий уровень напряжения, соответствующий «1», называют — логическая единица, а низкий уровень напряжения, соответствующий «0», называют логическим нулем.

Как и в шестнадцатиричной системе, в двоичной системе, для того, чтобы не путать ее с десятичной, существует свой синтаксис: — в конце числа дописывают символ «В», например — 1000В — также используются символы и впереди числа — «0b» или «#b», например — 0b1000, или  #b1000.

Системы счисления

Давайте посмотрим определение:

Система счисления – символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. То есть, к примеру, думаем «Один», а записываем — 1.

Как вы наверняка знаете, существует много разных систем счисления, одними пользуются и сейчас (наша, родная, десятичная система; римская система, известная нам как «римские цифры»), другие остались в глубоком прошлом (системы счисления инков и майя, древнеегипитская система, вавилонская). К примеру, еще не так давно, на Руси в ходу была пятиричная система счисления, так называемый «счет на пятки» (с ударением на «и»). При этом, число 10 произносилось как «два-пять». Тут, я думаю, вопросов у нас нет, что такое системы счисления нам понятно — отображение чисел символами. А вот какая связь систем счисления с микроконтроллерами. Дело в том, что при изучении устройства микроконтроллеров, создании программ, хотим мы того, или нет, нам с вами придется столкнуться с несколькими системами счисления. Общаясь с микроконтроллером (а как вы уже знаете из предыдущей статьи, это общение происходит на уровне определенных команд, которые представляют из себя наборы единиц и нулей), мы используем одну систему счисления; оперируя различными данными — придется пользоваться другими системами счисления. Если коротко, то при создании конструкций на микроконтроллерах используются три системы счисления: десятичная, двоичная и шестнадцатеричная. Вот о них мы сегодня поговорим более подробно.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

С числами в двоичной системе счисления можно выполнять такие-же арифметические операции, как и в десятичной системе:сложениевычитаниеумножениеделение

Так как в двоичной системе используются только две цифры, то при выполнении арифметических операции необходимо соблюдать некоторые правила.

Сложение двоичных чисел: 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 10 (при этом единица переносится в старший разряд)

Pravila-slozheniya-dvoichnyih-chisel.jpg

Вычитание двоичных чисел: 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 10 – 1 = 1 (занимается 1 из старшего разряда, которая равна двум 1 младшего разряда)

Pravila-vyichitaniya-dvoichnyih-chisel.jpg

Умножение двоичных чисел: 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1

Деление двоичных чисел: Деление в двоичной системе производится вычитанием делителя со сдвигом вправо, если остаток больше нуля.

Позиционные системы счисления.

Позиционные системы счисления — системы счисления, в которых количественное значение цифры зависит от ее местоположения в числе.

Например, если говорить о десятичной системе счисления, то в числе 700 цифра 7 означает «семь сотен», но эта же цифра в числе 71 означает «семь десятков», а в числе 7020 — «семь тысяч».

Каждая позиционная система счисления имеет свое основание. В качестве основания выбирается натуральное число, большее или равное двум. Оно равно количеству цифр, используемых в данной системе счисления.

  • Например:

Двоичная — позиционная система счисления с основанием 2. Четверичная — позиционная система счисления с основанием 4. Пятиричная — позиционная система счисления с основанием 5. Восьмеричная — позиционная система счисления с основанием 8. Шестнадцатиричная — позиционная система счисления с основанием 16.</ul>

Чтобы успешно решать задачи по теме «Системы счисления», ученик должен знать наизусть соответствие двоичных, десятичных, восьмеричных и шестнадцатиричных чисел до 1610:

10 с/с 2 с/с 8 с/с 16 с/с
1 1 1 1
2

10

2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000

10

8
9 1001 11 9

10

1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20

10

Полезно знать, как получаются числа в этих системах счисления. Можно догадаться, что в восьмеричной, шестнадцатиричной, троичной и других позиционных системах счисления все происходит аналогично привычной нам десятичной системе:

К числу прибавляется единица и получается новое число. Если разряд единиц становится равен основанию системы счисления, мы увеличиваем число десятков на 1 и т.д.

Этот «переход единицы» как раз и пугает большинство учеников. На самом же деле все довольно просто. Переход происходит, если разряд единиц становится равен

основанию системы счисления

, мы увеличиваем число десятков на 1. Многие, помня старую добрую десятичную систему моментально путаются в разряда и в этом переходе, ведь десятичный и, например, двоичный десятки — разные вещи.

Отсюда у находчивых учеников появляются «свои методики» (на удивление… работающие) при заполнении, например, таблиц истинности, первые столбцы (значения переменных) которых, фактически, заполняются двоичными числами в порядке возрастания.

Для примера разберем получение чисел в восьмеричной системе: К первому числу (0) прибавляем 1, получаем 1. Затем к 1 прибавляем 1, получаем 2 и т.д. до 7. Если мы прибавим к 7 единицу, получим число равное основанию системы счисления, т.е. 8. Тогда нужно увеличить на единицу разряд десятков (получаем восьмеричный десяток — 10). Далее, очевидно, идут числа 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, …, 27, 30, …, 77, 100, 101…

Способы представления чисел

Двоичные (binary) числа – каждая цифра означает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, после числа ставится буква «b». Для удобства восприятия тетрады могут быть разделены пробелами. Например, 1010 0101b. Шестнадцатеричные (hexadecimal) числа – каждая тетрада представляется одним символом 0…9, А, В, …, F. Обозначаться такое представление может по-разному, здесь используется только символ «h» после последней шестнадцатеричной цифры. Например, A5h. В текстах программ это же число может обозначаться и как 0хА5, и как 0A5h, в зависимости от синтаксиса языка программирования. Незначащий ноль (0) добавляется слева от старшей шестнадцатеричной цифры, изображаемой буквой, чтобы различать числа и символические имена. Десятичные (decimal) числа – каждый байт (слово, двойное слово) представляется обычным числом, а признак десятичного представления (букву «d») обычно опускают. Байт из предыдущих примеров имеет десятичное значение 165. В отличие от двоичной и шестнадцатеричной формы записи, по десятичной трудно в уме определить значение каждого бита, что иногда приходится делать. Восьмеричные (octal) числа – каждая тройка бит (разделение начинается с младшего) записывается в виде цифры 0–7, в конце ставится признак «о». То же самое число будет записано как 245о. Восьмеричная система неудобна тем, что байт невозможно разделить поровну. см. также Представление чисел в ЭВМ

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий