Наименьшее общее кратное
Если первое натуральное число делится на второе нацело, то второе называют делителем первого числа.
Пример
1) найти 10 кратных чисел для 3 и 5
2) из них найти общие кратные
3) наименьшее общее кратное чисел 3 и 5
Решение:
1. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30.
Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
2. Общие кратные 3 и 5: 15, 30. На самом деле общих кратных будет больше, но в нашем примере было ограничение в 10 кратных чисел.
3. Из 15 и 30 меньшим будет первое. Значит, оно и будет тем, что нам требуется.
Наименьшее натуральное число, кратное каждому из взятых в отдельности, будет наименьшим общим кратным всех взятых чисел вместе.
Наименьшее общее кратное чисел x и y обозначают НОК (x, y)
Как же можно найти этот НОК?
I способ: начинаем перебирать кратные у самого большого из взятых чисел.
- Найдем НОК чисел 12 и 18. Самое большое из них – это число 18
- Посчитаем числа, кратные 18: 18, 36, 54, 72, 90…
- Посчитаем числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84…
- Среди них находим наименьшее число, которое делится нацело на оба эти числа, – 36. Значит оно является НОК 12 и 18
НОК (12, 18)=36
II способ: расписываем числа в виде разложения на простые множители.
- Распишем все данные нам числа в виде разложения на простые множители
- Выпишем разложение одного из чисел (лучше сразу взять разложение наибольшего из них)
- Дополним в эту запись множители, которые входят в разложения других чисел, но которых нет в данном
- Перемножим то, что получилось, и запишем результат
Например:
$$mathbf{20 = 2cdot2cdot5}$$
$$mathbf{15 = 3cdot5}$$
В этих разложениях встречаются числа 3, 5, 2, 2
Поэтому, (mathbf{НОК (20, 15) = 2cdot2cdot3cdot5 = 60})
Пример 1
Запишите НОК чисел a и b в виде разложения на множители, если:
А) (mathbf{a = 2cdot2cdot3cdot3, b = 2cdot2cdot3cdot7})
Б) (mathbf{a = 2cdot2cdot3, b = 2cdot37})
В) (mathbf{a = 2cdot2cdot163, b = 2cdot2cdot17})
Г) (mathbf{a = 2cdot43, b =2cdot5cdot5cdot7})
Д) (mathbf{a = 2cdot2cdot3cdot3cdot5cdot5, b = 2cdot2cdot2cdot5})
Е) (mathbf{a = 2cdot2cdot2cdot2, b = 2cdot2cdot3cdot5})
Решение:
А) (mathbf{НОК (2cdot2cdot3cdot3, 2cdot2cdot3cdot7) = 2cdot2cdot3cdot7cdot3 = 252})
Б) (mathbf{НОК (2cdot2cdot3, 2cdot37) = 2cdot37cdot2cdot3 = 444})
В) (mathbf{НОК (2cdot2cdot163, 2cdot2cdot17) = 2cdot2cdot163cdot17 = 11084})
Г) (mathbf{НОК (2cdot43, 2cdot5cdot5cdot7) = 2cdot5cdot5cdot7cdot43 = 15050})
Д) (mathbf{НОК (2cdot2cdot3cdot3cdot5cdot5, 2cdot2cdot2cdot5) = 2cdot2cdot3cdot3cdot5cdot5cdot2 = 1800})
Е) (mathbf{НОК (2cdot2cdot2cdot2, 2cdot2cdot3cdot5) = 2cdot2cdot3cdot5cdot2cdot2 = 240})
Пример 2
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
А) 15 и 25
Б) 10 и 6
В) 100 и 84
Г) 36 и 69
Д) 74 и 12
Е) 96 и 50
Решение:
А)
(mathbf{15 = 3cdot5})
(mathbf{25 = 5cdot5})
(mathbf{НОК (15; 25) = 5cdot5cdot3 = 75})
Б)
(mathbf{10 = 2cdot5})
(mathbf{6 = 2cdot3})
(mathbf{НОК (10; 6) = 2cdot5cdot3 = 30})
В)
(mathbf{100 = 2cdot2cdot5cdot5})
(mathbf{84 = 2cdot2cdot3cdot7})
(mathbf{НОК (100; 84) = 2cdot2cdot5cdot5cdot3cdot7 = 2100})
Г)
(mathbf{36 = 2cdot2cdot3cdot3})
(mathbf{69 = 3cdot23})
(mathbf{НОК (36; 69) = 3cdot23cdot2cdot2cdot3 = 828})
Д)
(mathbf{74 = 2cdot37})
(mathbf{12 = 2cdot2cdot3})
(mathbf{НОК (74; 12) = 2cdot37cdot2cdot3 = 444})
Е)
(mathbf{96 = 2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot3})
(mathbf{50 = 2cdot5cdot5})
(mathbf{НОК (96; 50) = 2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot3cdot5cdot5 = 2400})
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
«Крат» в древней Руси XI века значило дословно «раз».
Получается, что «многократно» расшифровывается как «много раз».
Самим понятием кратности часто пользуются в обиходе. Например, бывают разные виды годов, которые получились при использовании нашего математического понятия. На каждые обычные три года из 365 дней приходится один, в котором 366 дней. Это связано с тем, что в таком году в феврале 29 дней, а не 28. Этот год называется високосным.
Если число, обозначающее год, будет кратно 4, то такой год будет високосным, а если не кратно, тогда год обычный. Например, 2018 – год обычный, потому что 2018 не делится без остатка на 4. Следующий за ним 2019 будет тоже обычным. А вот 2020 год будет уже точно високосным.
Пройти тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
ВходРегистрация
Как найти НОД и НОК двух чисел
Как найти НОД двух чисел
Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.
Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36)
:
- Раскладываем оба числа на множители:
28 = 1·2·2·7
,36 = 1·2·2·3·3
- Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
- Вычисляем произведение этих множителей:
1·2·2 = 4
– это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.
Как найти НОК двух чисел
Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.
Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:
- Находим произведение чисел 28 и 36:
28·36 = 1008
- НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
- НОК(28, 36) =
1008 / 4 = 252
.
Как пользоваться калькулятором
- Введите числа в поле для ввода
- В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
- нажмите кнопку “Найти НОД и НОК”