НОД и НОК чисел — наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

Наименьшее общее кратное

Если первое натуральное число делится на второе нацело, то второе называют делителем первого числа.

Пример

1) найти 10 кратных чисел для 3 и 5

2) из них найти общие кратные

3) наименьшее общее кратное чисел 3 и 5

Решение:

1. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30.

Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

2. Общие кратные 3 и 5: 15, 30. На самом деле общих кратных будет больше, но в нашем примере было ограничение в 10 кратных чисел.

3. Из 15 и 30 меньшим будет первое. Значит, оно и будет тем, что нам требуется.

Наименьшее натуральное число, кратное каждому из взятых в отдельности, будет наименьшим общим кратным всех взятых чисел вместе.

Наименьшее общее кратное чисел x и y обозначают НОК (x, y)

 

Как же можно найти этот НОК?

I способ: начинаем перебирать кратные у самого большого из взятых чисел.

1. Найдем НОК чисел 12 и 18. Самое большое из них — это число 18
2. Посчитаем числа, кратные 18: 18, 36, 54, 72, 90…
3. Посчитаем числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84…
4. Среди них находим наименьшее число, которое  делится нацело на оба эти числа, — 36. Значит оно является НОК 12 и 18

НОК (12, 18)=36

II способ: расписываем числа в виде разложения на простые множители.

1. Распишем все данные нам числа в виде разложения на простые множители
2. Выпишем разложение одного из чисел (лучше сразу взять разложение наибольшего из них)
3. Дополним в эту запись множители, которые входят в разложения других чисел, но которых нет в данном
4. Перемножим то, что получилось, и запишем результат

Например:

$$mathbf{20 = 2cdot2cdot5}$$

$$mathbf{15 = 3cdot5}$$

В этих разложениях встречаются числа 3, 5, 2, 2

Поэтому, (mathbf{НОК (20, 15) = 2cdot2cdot3cdot5 = 60})

Пример 1

Запишите НОК чисел a и b в виде разложения на множители, если:

А) (mathbf{a = 2cdot2cdot3cdot3, b = 2cdot2cdot3cdot7})

Б) (mathbf{a = 2cdot2cdot3, b = 2cdot37})

В) (mathbf{a = 2cdot2cdot163, b = 2cdot2cdot17})

Г) (mathbf{a = 2cdot43, b =2cdot5cdot5cdot7})

Д) (mathbf{a = 2cdot2cdot3cdot3cdot5cdot5, b = 2cdot2cdot2cdot5})

Е) (mathbf{a = 2cdot2cdot2cdot2, b = 2cdot2cdot3cdot5})

Решение:

А) (mathbf{НОК (2cdot2cdot3cdot3, 2cdot2cdot3cdot7) = 2cdot2cdot3cdot7cdot3 = 252})

Б) (mathbf{НОК (2cdot2cdot3, 2cdot37) = 2cdot37cdot2cdot3 = 444})

В) (mathbf{НОК (2cdot2cdot163, 2cdot2cdot17) = 2cdot2cdot163cdot17 = 11084})

Г) (mathbf{НОК (2cdot43, 2cdot5cdot5cdot7) = 2cdot5cdot5cdot7cdot43 = 15050})

Д) (mathbf{НОК (2cdot2cdot3cdot3cdot5cdot5, 2cdot2cdot2cdot5) = 2cdot2cdot3cdot3cdot5cdot5cdot2 = 1800})

Е) (mathbf{НОК (2cdot2cdot2cdot2, 2cdot2cdot3cdot5) = 2cdot2cdot3cdot5cdot2cdot2 = 240})

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

А) 15 и 25

Б) 10 и 6

В) 100 и 84

Г) 36 и 69

Д) 74 и 12

Е) 96 и 50

Решение:

А)

(mathbf{15 = 3cdot5})

(mathbf{25 = 5cdot5})

(mathbf{НОК (15; 25) = 5cdot5cdot3 = 75})

Б)

(mathbf{10 = 2cdot5})

(mathbf{6 = 2cdot3})

(mathbf{НОК (10; 6) = 2cdot5cdot3 = 30})

В)

(mathbf{100 = 2cdot2cdot5cdot5})

(mathbf{84 = 2cdot2cdot3cdot7})

(mathbf{НОК (100; 84) = 2cdot2cdot5cdot5cdot3cdot7 = 2100})

Г)

(mathbf{36 = 2cdot2cdot3cdot3})

(mathbf{69 = 3cdot23})

(mathbf{НОК (36; 69) = 3cdot23cdot2cdot2cdot3 = 828})

Д)

(mathbf{74 = 2cdot37})

(mathbf{12 = 2cdot2cdot3})

(mathbf{НОК (74; 12) = 2cdot37cdot2cdot3 = 444})

Е)

(mathbf{96 = 2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot3})

(mathbf{50 = 2cdot5cdot5})

(mathbf{НОК (96; 50) = 2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot3cdot5cdot5 = 2400})

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

 «Крат»  в древней Руси XI века значило дословно «раз».

Получается, что «многократно» расшифровывается как «много раз».

Самим понятием кратности часто пользуются в обиходе. Например, бывают разные виды годов, которые получились при использовании нашего математического понятия. На каждые обычные три года из 365 дней приходится один, в котором 366 дней. Это связано с тем, что в таком году в феврале 29 дней, а не 28. Этот год называется високосным.

Если число, обозначающее год, будет кратно 4, то такой год будет високосным, а если не кратно, тогда год обычный. Например, 2018 — год обычный, потому что 2018 не делится без остатка на 4. Следующий за ним 2019 будет тоже обычным. А вот 2020 год будет уже точно високосным.

Пройти тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

ВходРегистрация

Как найти НОД и НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36):

1. Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
3. Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 — это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

1. Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
2. НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
3. НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Как пользоваться калькулятором

• Введите числа в поле для ввода
• В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
• нажмите кнопку «Найти НОД и НОК»