Малоугловое приближение — Small-angle approximation

Конкретное использование

Астрономия

В астрономии , то угловой размер или угол , образуемый изображением удаленного объекта часто лишь несколько угловых секунд , поэтому он хорошо подходит для малоуглового приближения. Линейный размер ( D ) связан с угловым размером ( X ) и расстоянием от наблюдателя ( d ) простой формулой:

<math><semantics><mrow><mstyle><mi> D </mi><mo> знак равно </mo><mi> Икс </mi><mrow><mfrac><mi> d </mi><mrow><mn> 206 </mn><mn> 265 </mn></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation> { displaystyle D = X { frac {d} {206 , 265}}} </annotation></semantics></math>

где X измеряется в угловых секундах.

Номер 206 265 примерно равно количеству угловых секунд в круге ( 1 296 000 ), деленное на .

Точная формула

<math><semantics><mrow><mstyle><mi> D </mi><mo> знак равно </mo><mi> d </mi><mi> загар </mi><mo> ⁡ </mo><mrow><mo> ( </mo><mrow><mi> Икс </mi><mrow><mfrac><mrow><mn> 2 </mn><mi> π </mi></mrow><mrow><mn> 1 </mn><mn> 296 </mn><mn> 000 </mn></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo> ) </mo></mrow></mstyle></mrow><annotation> { displaystyle D = d tan left (X { frac {2 pi} {1 , 296 , 000}} right)} </annotation></semantics></math>

и выше приближение следует , когда загар Х заменяется на X .

Движение маятника

Косинусное приближение второго порядка особенно полезно при расчете потенциальной энергии в виде маятника , который затем может быть применен с лагранжиан , чтобы найти косвенное (энергию) уравнение движения.

При вычислении периода простого маятника используется малоугловое приближение для синуса, что позволяет легко решить полученное дифференциальное уравнение путем сравнения с дифференциальным уравнением, описывающим простое гармоническое движение .

Оптика

В оптике малоугловые приближения составляют основу параксиального приближения .

Волновая интерференция

Синусоидальные и касательные малоугловые приближения используются в отношении эксперимента с

двумя щелями

или дифракционной решетки для упрощения уравнений, например, «расстояние между полосами» = «длина волны» × расстояние от щелей до экрана ÷ «расстояние между щелями».

Структурная механика

Приближение малых углов также появляется в строительной механике, особенно при анализе устойчивости и бифуркации (в основном осевых нагруженных колонн, готовых к продольному изгибу ). Это приводит к значительным упрощениям, хотя и за счет точности и понимания истинного поведения.

Пилотирование

1 в 60 правиле используется в воздушной навигации имеет свою основу в приближении малых углов, а также тот факт , что один радиан составляет примерно 60 градусов.

Интерполяция

Формулы для сложения и вычитания с малым углом могут использоваться для интерполяции между значениями тригонометрической таблицы :

Пример: sin (0,755)

грех (0,755) = грех (0,75 + 0,005)
≈ sin (0,75) + (0,005) cos (0,75)
≈ (0,6816) + (0,005) (0,7317) [Значения sin (0,75) и cos (0,75) получены из тригонометрической таблицы]
≈ 0,6853.

Сумма и разность углов

В угле сложение и вычитание теоремы сводится к следующему , когда один из углов малы (β ≈ 0):

соз (α + β) ≈ cos (α) — βsin (α),
cos (α — β) ≈ cos (α) + βsin (α),
грех (α + β) ≈ sin (α) + βcos (α),
грех (α — β) ≈ sin (α) — βcos (α).

Смотрите также

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий