Содержание
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.
d2 = R2 – 2Rr
<mfrac><mn>r</mn><mn>R</mn></mfrac>= 4 sin<mfrac><mn>α</mn><mn>2</mn></mfrac>sin<mfrac><mn>β</mn><mn>2</mn></mfrac>sin<mfrac><mn>γ</mn><mn>2</mn></mfrac>= cos α + cos β + cos γ – 12Rr = <mfrac><mn>abc</mn><mn>a + b + c</mn></mfrac>
Медианы треугольника
Определение.Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медиан треугольника:
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
-
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
<mfrac><mn>AO</mn><mn>OD</mn></mfrac>= <mfrac><mn>BO</mn><mn>OE</mn></mfrac>= <mfrac><mn>CO</mn><mn>OF</mn></mfrac>= <mfrac><mn>2</mn><mn>1</mn></mfrac>
-
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
S∆ABD = S∆ACD
S∆BEA = S∆BEC
S∆CBF = S∆CAF
-
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE
- Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
ma = <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>√2b2+2c2–a2
mb = <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>√2a2+2c2–b2
mc = <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>√2a2+2b2–c2
Классификация треугольников
В зависимости от величины углов или количества равных сторон выделяют следующие виды фигуры:
1. Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°.
2. Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
3. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и AC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (BC).
4. Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
5. Равнобедренный – треугольник, имеющие две равные стороны, которые называются боковыми (AB и BC). Третья сторона – это основание (AC). В данной фигуре углы при основании равны (∠BAC = ∠BCA).
6. Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
Признаки равенства треугольников
Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:
- a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);
- a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
- a, b, c (равенство по трём сторонам).
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- по катету и гипотенузе;
- по двум катетам;
- по катету и острому углу;
- по гипотенузе и острому углу.
В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.
Определение и знак подобия в геометрии
Подобными называются фигуры, если одна из них представляет уменьшенную копию другой.
На нижеприведенном рисунке подобные фигуры: круги, параллелограммы, пятиугольники и ромбы.
Для обозначения термина «подобие» в геометрии используют знак «тильда», который является типографским символом и обозначается волнистой чертой:
∆ABC ~ ∆A1B1C1— треугольники ABC и A1B1C1подобны.
Знак «двойная тильда» ставится около чисел для демонстрации примерности или приблизительности чего-либо:
1,35 ≈ 1,4 — числа 1,35 и 1,4 приблизительно равны.