Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Проследим за тем, как формируются представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе в школьном курсе математики. На уроках геометрии дается определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. А позже изучается тригонометрия, где говорится о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе угла поворота и числа. Приведем все эти определения, приведем примеры и дадим необходимые комментарии.

Острого угла в прямоугольном треугольнике

Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.

Определение.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Определение.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Там же вводятся обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса – sin, cos, tg и ctg соответственно.

Например, если АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С, то синус острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB, то есть, sinв€ A=BC/AB.

Эти определения позволяют вычислять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла по известным длинам сторон прямоугольного треугольника, а также по известным значениям синуса, косинуса, тангенса, котангенса и длине одной из сторон находить длины других сторон. Например, если бы мы знали, что в прямоугольном треугольнике катет AC равен 3, а гипотенуза AB равна 7, то мы могли бы вычислить значение косинуса острого угла A по определению: cosв€ A=AC/AB=3/7.

К началу страницы

Угла поворота

В тригонометрии на угол начинают смотреть более широко — вводят понятие угла поворота. Величина угла поворота, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от до 90 градусов, угол поворота в градусах (и в радианах) может выражаться каким угодно действительным числом от в€’в€ћ до +в€ћ.

В этом свете дают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса уже не острого угла, а угла произвольной величины — угла поворота. Они даются через координаты x и y точки A1, в которую переходит так называемая начальная точка A(1, 0) после ее поворота на угол О± вокруг точки O – начала прямоугольной декартовой системы координат и центра единичной окружности.

pict001.png

Определение.

Синус угла поворотаО± — это ордината точки A1, то есть, sinО±=y.

Определение.

Косинусом угла поворотаО± называют абсциссу точки A1, то есть, cosО±=x.

Определение.

Тангенс угла поворотаО± — это отношение ординаты точки A1 к ее абсциссе, то есть, tgО±=y/x.

Определение.

Котангенсом угла поворотаО± называют отношение абсциссы точки A1 к ее ординате, то есть, ctgО±=x/y.

Синус и косинус определены для любого угла О±, так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол О±. А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов О±, при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, в€’1), а это имеет место при углах 90В°+180°·k, kв€€Z (ПЂ/2+ПЂВ·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgО±=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов О±, при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (в€’1, 0), а это имеет место для углов 180°·k, kв€€Z (ПЂВ·k рад).

Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90В°+180°·k, kв€€Z (ПЂ/2+ПЂВ·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k, kв€€Z (ПЂВ·k рад).

В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin, cos, tg и ctg, они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot, отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30В°, записям tg(в€’24В°17′) и ctgО± отвечают тангенс угла поворота в€’24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота О±. Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3В·ПЂ.

В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.

Также скажем, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике согласуются с только что данными определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота величиной от до 90 градусов. Это мы обоснуем в последнем пункте этой статьи.

К началу страницы

Числа

Дальше возникает потребность отвязаться от углов и дать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла.

Определение.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числаt называют число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла поворота в t радианов соответственно.

Например, косинус числа 8В·ПЂ по определению есть число, равное косинусу угла в 8В·ПЂ рад. А косинус угла в 8В·ПЂ рад равен единице, поэтому, косинус числа 8В·ПЂ равен 1.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Он состоит в том, что каждому действительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности с центром в начале прямоугольной системы координат, и синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки. Остановимся на этом подробнее.

Покажем, как устанавливается соответствие между действительными числами и точками окружности:

  • числу ставится в соответствие начальная точка A(1, 0);
  • положительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности, в которую мы попадем, если будем двигаться по окружности из начальной точки в направлении против часовой стрелки и пройдем путь длиной t;
  • отрицательному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности, в которую мы попадем, если будем двигаться по окружности из начальной точки в направлении по часовой стрелке и пройдем путь длиной |t|.

Теперь переходим к определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа t. Допустим, что числу t соответствует точка окружности A1(x, y) (например, числу &pi/2; отвечает точка A1(0, 1)).

Определение.

Синусом числаt называют ординату точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, sint=y.

Определение.

Косинусом числаt называют абсциссу точки единичной окружности, отвечающей числу t, то есть, cost=x.

Определение.

Тангенсом числаt называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, tgt=y/x. В другой равносильной формулировке тангенс числа t – это отношение синуса этого числа к косинусу, то есть, tgt=sint/cost.

Определение.

Котангенсом числаt называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, ctgt=x/y. Другая формулировка такова: тангенс числа t – это отношение косинуса числа t к синусу числа t: ctgt=cost/sint.

Здесь отметим, что только что данные определения согласуются с определением, данным в начале этого пункта. Действительно, точка единичной окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, полученной в результате поворота начальной точки на угол в t радианов.

Еще стоит прояснить такой момент. Допустим, перед нами запись sin3. Как понять, о синусе числа 3 или о синусе угла поворота в 3 радиана идет речь? Обычно это ясно из контекста, в противном случае это скорее всего не имеет принципиального значения.

К началу страницы

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

» alt=»»>

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий