3.1.7. Примеры решения задач по теме «Линейные операции над векторами. Скалярное произведение»

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> будем обозначать <math><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced></math>. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат <math><mi>O</mi><mi>x</mi><mi>y</mi></math>. Пусть в ней задан некоторый вектор <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> с координатами <math><mfenced><mrow><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></mrow></mfenced></math>. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> через координаты <math><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub></math> и <math><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></math>.

От начала координат отложим вектор <math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math>. Определим соответственные проекции точки <math><mi>A</mi></math> на координатные оси как <math><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub></math> и <math><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub></math> . Теперь рассмотрим прямоугольник <math><mi>O</mi><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mi>A</mi><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub></math> с диагональю <math><mi>O</mi><mi>A</mi></math>.

11.png

Из теоремы Пифагора следует равенство <math><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></math>, откуда <math><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt></math>. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что <math><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup></math> и <math><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></math>, а по построению длина <math><mi>O</mi><mi>A</mi></math> равна длине вектора <math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math>, значит, <math><mover><mfenced><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt></math>.

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></mrow></mfenced></math> имеет соответствующий вид: <math><mover><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><msup><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt></math>.

Если вектор <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> дан в виде разложения по координатным векторам <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover></math>, то вычислить его длину можно по той же формуле <math><mover><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><msup><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt></math>, в данном случае коэффициенты <math><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub></math> и <math><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></math> выступают в роли координат вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>7</mn><mo>;</mo><msqrt><mi>e</mi></msqrt></mrow></mfenced></math>, заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам<math><mover><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><msup><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt></math>: <math><mover><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><msup><mn>7</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mfenced><msqrt><mi>e</mi></msqrt></mfenced><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>49</mn><mo>+</mo><mi>e</mi></msqrt></math>

Ответ: <math><mover><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><mn>49</mn><mo>+</mo><mi>e</mi></msqrt></math>.

Формула для нахождения длины вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub></mrow></mfenced></math> по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

22.png

В данном случае <math><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><mn>2</mn></msup></math> (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда <math><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt></math>. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства <math><mi>O</mi><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><mo> </mo><mi>O</mi><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>;</mo><mo> </mo><mi>O</mi><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mo>;</mo><mo> </mo></math>, а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, <math><mover><mfenced><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt></math>.

Отсюда следует, что длина вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub></mrow></mfenced></math> равна <math><mover><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><msup><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt></math>.

Пример 2

Вычислить длину вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mn>5</mn><mo>·</mo><mover><mi>k</mi><mo>→</mo></mover></math>, где <math><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>k</mi><mo>→</mo></mover></math> — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>·</mo><mover><mi>i</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mover><mi>j</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mn>5</mn><mo>·</mo><mover><mi>k</mi><mo>→</mo></mover></math>, его координаты равны <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>5</mn></mrow></mfenced></math>. Используя выше выведенную формулу получим <math><mover><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><msup><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><msup><mn>4</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>5</mn><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><mn>5</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math>.

Ответ:<math><mover><mfenced><mi>a</mi></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mn>5</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>.</mo></math>

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами <math><mi>A</mi><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo></math> и <math><mi>B</mi><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo></math>, отсюда вектор <math><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> имеет координаты <math><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo></math>значит, его длина может быть определена по формуле: <math><mover><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></msqrt></math>

А если даны точки с заданными координатами <math><mi>A</mi><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mo>)</mo></math> и <math><mi>B</mi><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>;</mo><msub><mi>b</mi><mi>z</mi></msub><mo>)</mo></math> в трехмерном пространстве, то длину вектора <math><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> можно вычислить по формуле

<math><mover><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mrow><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>z</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt></math>

Пример 3

Найти длину вектора <math><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math>, если в прямоугольной системе координат <math><mi>A</mi><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>.

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим <math><mover><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></msqrt></math>: <math><mover><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>20</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></msqrt><mo>.</mo></math>

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: <math><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>)</mo></math>; <math><mover><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>20</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></msqrt><mo>.</mo></math>-

Ответ: <math><mover><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><mn>20</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></msqrt><mo>.</mo></math>

Пример 4

Определить, при каких значениях  длина вектора <math><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> равна <math><msqrt><mn>30</mn></msqrt></math>, если<math><mi>A</mi><mo>(</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>;</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msup><mi>λ</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo><mo> </mo></math>.

Решение

Для начала распишем длину вектора <math><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> по формуле: <math><mover><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfenced><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><msqrt><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mrow><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>z</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>-</mo><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1</mn><mrow><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msup><mi>λ</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>26</mn><mrow><mo>+</mo><mo>(</mo><msup><mi>λ</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt></math>

Затем полученное выражение приравняем к <math><msqrt><mn>30</mn></msqrt></math>, отсюда найдем искомые <math><mi>λ</mi></math>:

 <math><msqrt><mn>26</mn><mrow><mo>+</mo><mo>(</mo><msup><mi>λ</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>30</mn></msqrt><mn>26</mn><mrow><mo>+</mo><mo>(</mo><msup><mi>λ</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></mrow><mo>=</mo><mn>30</mn><mrow><mo>(</mo><msup><mi>λ</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>4</mn><msup><mi>λ</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mi>и</mi><mi>л</mi><mi>и</mi><mo> </mo><msup><mi>λ</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo> </mo><msub><mi>λ</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>λ</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>λ</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mo>.</mo></mrow></math>

Ответ: <math><msub><mi>λ</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>λ</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>λ</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mo>.</mo></math>

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.

А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Таким образом, если на плоскости заданы точки 027.png и 028.png, то вектор имеет координаты и его длина вычисляется по формуле , а формула для нахождения длины вектора по координатам точек и трехмерного пространства имеет вид .

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Найдите длину вектора , если в прямоугольной декартовой системе координат .

Решение.

Можно сразу применить формулу для нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости :

Вторым вариантом решения является определение координат вектора через координаты точек и применение формулы :

Ответ:

.

Пример.

Определите, при каких значениях длина вектора равна , если .

Решение.

Длина вектора по координатам точек начала и конца может быть найдена как

Приравняв полученное значение длины вектора к , вычислим искомые :

Ответ:

при .

К началу страницы

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать mod_a.png. Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координатOxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координат мы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

Ответ:

.

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где — орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Ответ:

.

К началу страницы

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий