Урок 24 Бесплатно Масштаб

Правила оформления

Если топографическая карта местности была изготовлена правильно, на ней должен обязательно быть указан масштаб. Исключение могут быть только самодельные карты или планы местности, нарисованные вручную. Во всех остальных случаях масштаб должен быть оформлен согласно ГОСТу.

Если карта была составлена правильно, находить даже уменьшенные объекты не составит труда, ведь все измерения точно соответствуют расположению на местности.

Масштаб

С давних пор люди использовали изображения (рисунки) как средство общения и передачи информации друг другу.

Сначала это были простейшие изображения, но с течением времени они совершенствовались.

Создание рисунков и изображений все больше стали находить применение в жизни человека. Например, при строительстве сооружений.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

ladle-chat-80.png

Первые изображения (подобие чертежей) появились много столетий назад. Эти рисунки назвали «планами».

Они выполнялись непосредственно на земле, на месте планируемого сооружения, постройки. Эти изображения были в натуральную величину и получались гигантскими, а чертить их без специальных приспособлений было тяжело.

Так появились первые примитивные чертежные инструменты. Линейные размеры стали откладывать деревянным разметочным циркулем (циркуль-измеритель), окружности чертили с помощью веревки и двух колышков, один из которых вбивали в землю, вторым чертили. Для построения углов использовали веревочный прямоугольный треугольник.

Несмотря на все инструменты-помощники, выполнять «планы» по прежнему было проблематично, поэтому спустя время стали изображать такие чертежи в уменьшенном виде на холсте, дереве, пергаменте и др.

Желание уменьшать размеры реальных объектов и переносить их изображения на плоскую поверхность возникало не только в области строительства, но и в других сферах деятельности человека.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

ladle-chat-80.png

Еще древние люди высекали на скалах изображения, используя условные символы и силуэты человеческих фигур, животных, деревьев, пытались схематично изображать местность.

Конечно, рисунки древнего человека были примитивны и всего лишь отдаленно напоминали карту, но постепенно язык их усложнялся.

Одной из древнейших карт считают вавилонский чертеж, выполненный на глиняной табличке. Надпись на этом камне датирована 604-562 годами до н.э.

Древние чертежи и карты давали мало представления о реальном расстоянии между объектами, о их действительных размерах, так как изображения уменьшались произвольно, носили в основном приблизительный характер.

Пользуясь такими картами, люди не могли рассчитать, сколько времени они будут в пути, когда доберутся до нужного места. Язык карты был очень неточным, а порой даже вводил в заблуждение мореплавателей и путешественников.

Первым картографом, который применил в составлении карты масштаб, был древнегреческий ученый Анаксимандр Милетский, живший в VII-VI веке до н.э.

На Руси чертежи земель существовали с XIII века.

Впервые масштабы в России стали применятся в XVI веке

Попробуем разобраться, что такое масштаб, для чего он необходим и что он показывает.

Масштаб — слово немецкого происхождения (Maßstab), переводится как мерило, мера, размер.

Масштаб —это отношение длины отрезка на карте (плане, чертеже) к длине соответствующего отрезка в действительности на местности.

Условно можно обозначить так:

Масштаб записывается в виде дроби (отношения двух чисел).

Обычно числитель этой дроби равен единице, а знаменатель показывает во сколько раз на карте (плане, чертеже) уменьшены размеры объекта относительно его размеров в действительности.

Пример:

Масштаб 1:100000 означает, что 1 сантиметру на карте соответствует 100 000 сантиметров (1 километр) реального расстояния на местности, т.е. можно говорить, что на карте все расстояния и размеры уменьшены в 100 000 раз по сравнению с действительными размерами.

При масштабе 1:100 000 на карте расстояние, равное 100 000 сантиметров (1 километр), будет изображаться отрезком в 1 сантиметр.

Масштаб обозначают целым словом «Масштаб» или заглавной буквой М.

Пройти тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

ВходРегистрация

Виды масштабов

Различают три вида масштаба:

  • численный
  • именованный
  • графический

Графический, в свою очередь, делится на линейный и поперечный.

vidi_maschtabov.png

Численный масштаб представляют в виде дроби, где числитель — это единица, а знаменатель показывает степень уменьшения размеров изображения объектов относительно их реальных размеров.

Численный масштаб — это дробь, поэтому числитель и знаменатель выражены в одинаковых единицах измерения.

При обозначении численного масштаба не указывают единицы измерения, указывают только числа (1:2 000, 1:200 000, 1:100 и т.п.).

Пример 1

Численный масштаб карты 1:15 000 000, что он показывает?

Данный масштаб показывает, что 1 см на карте соответствует 15 000 000 см в действительности.

Нужно помнить, что чем меньше значение знаменателя в масштабе, тем крупнее масштаб.

Пример 2

Масштаб 1:1 000 крупнее, чем 1:15 000, так как знаменатель первого масштаба равен 1 000, а знаменатель второго масштаба 15 000.

1 000 меньше 15 000, следовательно, масштаб 1:1 000 крупнее.

Чем крупнее масштаб, тем больше можно изобразить объектов действительности, карта (план) получается подробней и содержательней.

При большем масштабе хорошо изображать небольшие по площади территории.

Применяется в топографических картах и планах.

На чертежах могут изображаться как уменьшенные изображения реальных объектов, так и увеличенные, если размеры изображаемого объекта слишком малы.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Если в записи масштаба знаменатель больше числителя, то такой масштаб называют масштабом уменьшения.

Масштаб 1:m, где m > 1

(например, масштаб 1:4, 1:20, 1:100 и т.п.)

Если в записи масштаба знаменатель меньше числителя, то такой масштаб называют масштабом увеличения

Масштаб m:1, где m > 1

(например, масштаб 4:1, 20:1, 100:1 и т.п.)

Масштаб в натуральную величину:

Масштаб 1:1 (числитель и знаменатель равны единице)

При создании изображений в натуральную величину в информации о чертеже указывают масштаб 1:1

Именованный масштаб—  это, по сути, словесное обозначение численного масштаба.

Такой масштаб показывает, сколько одному сантиметру на карте (плане) соответствует метров (километров) на местности.

Расстояние на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте (плане), называют величиной масштаба.

Пример 3

Дан именованный масштаб: в 1 см — 250 м (в 1 сантиметре 250 метров).

Такой масштаб означает, что 250 м на местности соответствуют 1 см на карте (плане).

Величина этого масштаба равна 250 м.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

На картах (планах) отмеряют расстояние в сантиметрах, а на местности в метрах или километрах.

Необходимо помнить правила перевода из одной единицы измерения в другую.

1 м = 100 см

1 км = 100 000 см

Рассмотрим правила-помощники для перевода из сантиметров в метры и километры.

Если в значении знаменателя масштаба убрать два последних нуля, то остается число, которое покажет, сколько метров на местности соответствует одному сантиметру на карте (плане), т.е. величину масштаба.

Если в значении знаменателя масштаба убрать пять последних нулей, то остается число, которое покажет, сколько километров на местности соответствует одному сантиметру на карте (плане), т.е. величину масштаба.

Попробуем перевести масштаб из численного в именованный, пользуясь правилами- помощниками

Обратным образом происходит перевод из именованного в численный

Графический масштаб подразделяют на линейный и поперечный.

Линейный масштаб дает возможность определить расстояние и размеры без расчетов и переводов длин из масштабных в реальные, позволяя тем самым ускорить работу с картой.

Линейный масштаб представляет собой отрезок прямой, разделенный на деления (подобно линейке со шкалой).

Эти деления равной длины, но с разным номинальным значением, называют основанием линейного масштаба.

Каждое деление подписано значениями, указывающими размеры соответствующих им отрезков в действительности.

Основание откладывается по всей длине масштабного отрезка (чаще всего с шагом 2 см).

Крайнее левое от нуля основание делят на более мелкие деления — это наименьшее деление линейного масштаба.

Расстояние в действительности, соответствующее номинальному делению масштаба, называют точностью масштаба (т.е. это отрезок на местности, который соответствует одному минимальному значению масштаба).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Как правильно пользоваться линейным масштабом

  1. Приложить к измеряемому отрезку на карте раствор циркуля, сделать замер
  2. Приложить к линейке масштаба полученный раствор циркуля и по делениям отсчитать значение замера

Отсчет берется по двум значениям: правую ножку циркуля необходимо поставить на деление справа от нуля, левая ножка циркуля может выходить за ноль в левое основание. Таким образом, длина замера будет состоять из двух отсчетов: отсчет целого основания и отсчет наименьших делений линейного масштаба левого основания.

Обратите внимание на рисунок линейного масштаба, представленного выше.

Мы можем увидеть, что раствор циркуля укладывается только в одно правое основание линейного масштаба и в два наименьших деления крайнего левого основания.

Сложив все полученные значения, получаем:

измеряемый отрезок на местности = (mathbf{200 м + (2 cdot 20 м) = 240 м})

Поперечный масштаб

Поперечный масштаб это улучшенный вариант линейного масштаба, позволяющий делать максимально точные измерения расстояний и размеров.

Выглядит поперечный масштаб, как сетка, состоящая из горизонтальных линий, пересеченных вертикалями и наклонными линиями (трансверсали).

Используют поперечный масштаб подобно линейному, но измерения откладываются по трем основаниям (горизонталям, вертикалям и трансверсалям).

Для фиксирования длины отрезка на карте также используют циркуль.

Чаще всего поперечный масштаб применяют на специализированных картах.

Этот вид масштаба удобен для определения длинны рек, дорог, горных хребтов и других кривых на карте.

Нередко для удобства на картах приводятся все три вида масштабов: численный, именованный, графический (линейный).

Пройти тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

ВходРегистрация

Определение численного масштаба

Численный масштаб выражается дробью, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – число, которое показывает во сколько раз уменьшено изображение.

chislenniy-masshtab-e1575544565809.png

Рис. 1. Численный масштаб.

в России приняты следующие стандартные виды численного масштаба: $${1 : 1000000}, {1 : 500000}, {1 : 300000}, {1 : 200000}, {1 : 100000},$$ $${1 : 50000}, {1 : 25000}, {1 : 10000} $$.

Пример

Какой длины будет изображение объекта длиной 600 м, если численный масштаб равен ${1 : 50000} ?$

Знаменатель численного масштаба показывает, что на изображении длина здания будет в 50000 раз меньше его реальной длины.

Реальная длина объекта равна 600 м.

Следовательно, длина объекта на изображении будет равна $${600 over 50000} = 0,012 м = 1,2 см. $$

Рассмотрим теперь обратную задачу.

Пример

Изображение предмета имеет на карте длину 1,5 см. Численный масштаб равен ${1 : 10000}$. Чему равна реальная длина объекта?

Длина на изображении будет в 10 000 раз меньше его реальной длины. Или, другими словами, реальная длина будет в 10 000 раз больше длины на изображении.

Длина на изображении равна 1,5 см, или 0,015 м.

Следовательно, реальная длина объекта равна $${0,015*10000} = 150 м. $$

Зная размеры исходного объекта и изображения, можно определить численный масштаб.

Пример

Реальная длина объекта равна 500 м, а длина его изображения на карте – 1 см. Найти численный масштаб изображения.

Выражаем длину изображения в метрах: 1 см = 0,01 м.

Определяем отношение размеров: ${500 over 0,01} = 50000.$

Следовательно, численный масштаб равен ${1 : 50000}.$

Кроме численного, есть еще другие виды масштаба (рис. 2), например, линейный масштаб, который представляет собой график, построенный в виде разделенного на равные части отрезка прямой.

matematika-100398-razlichnye-vidy-masshtaba.jpg

Рис. 2. Различные виды масштаба.

Линейный масштаб позволяет на картах строить и измерять расстояния без вычислений (рис. 2).

Рис. 3. Линейный масштаб.

Примеры решения задач на масштаб

Задачи, связанные с масштабом, бывают трех типов:

  1. Задачи на определение расстояния (размеров) на карте
  2. Задачи на определение расстояния на местности (размеров реального объекта)
  3. Задачи на определение масштаба

Алгоритм решения задач первого и второго типа можно представить так:

  1. Привести единицы измерения величин к общему виду
  2. Обозначить неизвестную величину (чаще всего обозначают буквой х)
  3. Составить пропорцию с неизвестным членом
  4. Составить уравнение
  5. Решить уравнение (найти неизвестный член пропорции)
  6. Записать ответ

Задача 1

Длина отрезка на местности — 4 км.

Найдите длину этого отрезка на карте, если масштаб карты 1:200 000.

Решение:

В 1 см на карте- 200 000 см

1 км = 100 000 см

4 км = 400 000 см

Пусть х (см)- длина отрезка на карте.

Составим краткую запись задачи в виде таблицы

zadanie_1.png

Составим пропорцию:

(mathbf{frac{x}{400000} = frac{1}{200000}})

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

(mathbf{{x}cdot{200000} = {1}cdot{400000}})

(mathbf{{x}= frac{400000}{200000}})

(mathbf{x = 2})(см)

Ответ: (mathbf{x = 2}) (см) длина отрезка на карте.

Задача 2

Длина отрезка на карте 6 см.

Найдите длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1:1000000.

Решение:

В 1 см на карте- 1 000 000 см

1 км = 100 000 см

Пусть х (см)- длина отрезка на местности.

Составим краткую запись задачи в виде таблицы

zadanie_2.png

Составим пропорцию:

(mathbf{frac{6}{x} = frac{1}{100000}})

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

(mathbf{{x}cdot{1} = {6}cdot{1000000}})

(mathbf{x = 6000000})(см)

(mathbf{x = 60})(км)

Ответ: (mathbf{x = 60}) (км) длина отрезка на местности.

Задача 3

Расстояние между населенными пунктами А и В составляет 400 км.

Расстояние между населенными пунктами А и В на карте равно 10 см.

Определите масштаб карты.

Решение:

Так как масштаб — это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности

(mathbf{M = frac{L_{карта}}{L_{местность}}})

где М— масштаб карты

Lкарта— расстояние между населенными пунктами на карте

Lместность— расстояние между населенными пунктами на местности

Запишем, как относятся расстояние на карте и на местности для нашей задачи.

Приведем величины к единой единице измерения:

400 км = 400 000 м= 40 000 000 см

(mathbf{M = frac{10}{40000000}})

 (mathbf{M = frac{1}{4000000}})

Ответ: Масштаб карты 1:4 000 000

Задача 4 (практика)

Выясним как пользоваться масштабом на карте

По карте нужно узнать реальное расстояние от пункта А до пункта В. Задан масштаб карты 1:500 000 (или в 1 см- 5 км).

Решение:

Необходимо взять линейку и измерить расстояние от пункта А до пункта В на карте. Полученную величину (допустим, измеренный отрезок получился равным 6 см) умножим на величину масштаба (для нашей задачи величина масштаба равна 5 км = 500 000 см)

(mathbf{6 см cdot 500 000 см = 3 000 000см = 30км})

Ответ: Расстояние между пунктами А и В равно 30 километров

Масштаб используют не только в картографии и геодезии, но и в других областях деятельности человека:

  • на производстве при создании чертежей крупногабаритных или мелких деталей
  • в проектировании и архитектуре при создании чертежей зданий, сооружений, коммуникаций
  • в фото и видео технике есть возможность масштабирования картинки (увеличивая или уменьшая ее)
  • в конструировании и моделировании (при создании макетов, моделей, выкроек)

Пройти тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

ВходРегистрация

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий