Пример №90 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс

УПРАЖНЕНИЯ

1. Запишите квадратное уравнение ax2+bx+c=0, если:а) a=-6,  b=3,  c=-1;     б) a=0,8,   b=-5,  c=4.Решение:а) -6x2+3x-1=0. 2. Укажите уравнение, которое не имеет корней:а)  1) (x-2)2=-4;   2) (x-1)2-4=0.   б) 1) (x+3)2=9;   2) (x+2)2+16=0.Решение:а) (x-2)2=-4 не имеет корней, т.к. (x-2)не может быть отрицательным числом;уравнение (x-1)2-4=0 имеет корни (x-1)2=4, |x-1|=2, следовательно х-1=2 или х-1=-2 и х=3 или х=-1.Ответ: 1)(x-2)2=-4 3. Используя теорему Виетта, проверьте, являются ли корнями уравнения:а)  x² + x — 6 = 0  числа х1=-3; х2=2;  б) x² -7x + 12 = 0  числа х1=-4; х2=-3.Решение:а) по теореме Виетта х1+х2=-3+2=-1=-b (b=1); x1*x2=(-3)*2=-6=c (c=-6), следовательно х1 и х2 являются корнями данного уравнения.Ответ: являются 4. Из уравненийx² + x — 6 = 0;  x 4 + x 2 -2=0;   5x2-2=0;   4x² + 2x — 7 =0;  x2+4x=0; 8x2=0 выпишите:а) неполные квадратные уравнения;   б) полные квадратные уравнения.Решение:а)  В неполных квадратных уравнениях коэффициенты b и с могут быть равны 0, следовательно 5x2-2=0; x2+4x=0; 8x2=0 — неполные квадратные уравнения. 5. Из уравненийx² + x — 6 = 0; 5x2-2х+4=0;   4x² + 2x — 7 =0;  x2+4x-1=0; 8x2=0 выпишите:а) приведенные квадратные уравнения;   б) неприведенные квадратные уравнения.Решение:а) в приведенных квадратных уравнениях коэффициент а равен 1, следовательно x² + x — 6 = 0; x2+4x-1=0 — приведенные квадратные уравнения. 6. Решите уравнения:а) 1,2x2-7,5х=0;     б) 1,2x2+8,4х=0. Решение:а) 1,2x2-7,5х=0 неполное квадратное уравнение.    х(1,2х-7,5)=0,    х=0 или 1,2х-7,5=0,                  1,2х=7,5,                   х=7,5:1,2,                   х=6,25.Ответ: 0; 6,25. 7. Решите уравнения:а) 2x2-32=0;     б) 2x2+72=0. Решение:а) 2x2-32=0 — неполное квадратное уравнение,2x2=32,x2=32:2,x2=16,    х=-4 или х=4.Ответ: -4; 4. 8. Решите уравнения:а) 0,5x2-1,3х-0,6=0;   б) 0,5x2+1,2x-6,5=0Решение:а) 0,5x2-1,3х-0,6=0;D=(-1,3)2-4*0,5*(-0,6)=1,69+1,2=2,89;x1=(1,3+1,7):(2*0,5)=3; x2=(1,3-1,7):(2*0,5)=-0,4.Ответ: -0,4; 3. 9. Решите уравнения:а) 4x2+6x=9x2-15x;  б) 12x+6x2=5x2-7x.<o>Решение:а) 4x2+6x=9x2-15x; 4x2+6x-9x2+15x=0;-5x2+21x=0 — неполное квадратное уравнение; 10. Найдите разность и произведение корней уравнения:а) x2-x-3=0;   б) x2+x-5=0.Решение:а) x2-x-3=0; Произведение корней по теореме Виетта равно -3.Найдем корни уравнения:D=(-1)2+4*3=13;1.jpgразность корней. 11. Решите уравнения:a) (3x+1)2+(3x+1)=20;  б)(x+1)2(x+1)=14.Решение:а) (3x+1)2+(3x+1)=20;1 способ: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:9x22+9x-18=0;x2+x-2=0;по теореме Виетта х1+х2=-1, х1*х2=-2, следовательно х1=-2, х2=1.2 способ: заменим (3х+1) на у, получим:у2+у-20=0;3х+1=4, х=1.Ответ: -2; 1. 12. Решите уравнения:a) x4+2x2-3=0;  б) x4-3x24=0.Решение:а) x4 +2x2-3=0 — биквадратное уравнение. Введем замену x2=у:у2+2у-3=0;по теореме Виетта у1+у2=-2, у1*у2=-3, следовательно у1=-3,у2=1.Найдем х:  x2=-3 — нет решений; x2=1, следовательно х=-1 или х=1.Ответ: -1; 1. 13. Решите уравнения:a) x4 -7x2+12=0;  б) x4-3x2+2=0.<o>Решение:а) x4 -7x2+12=0— биквадратное уравнение. Введем замену x2=у:у2-7у+12=0;по теореме Виетта у1+у2=7, у1*у2=12, следовательно у1=3,у2=4.Найдем х:  x2=4, следовательно х=-2 или х=2.x2=3, следовательно 

14. При каких значениях х трехчлены принимают противоположные значения:а) 4х2-5х+12 и х-2х2-12;  б) 8-5х+7х2 и 5х-2х2-133.<o>Решение:а) 2-5х+12 =-( х-2х2-12);2-5х+12 = -х+2х2+12;2-4х=0;   2х(х-2)=0;2х=0 или х-2=0;x=0 или  x=2Ответ: 0; 2. 15. Решите уравнения:А) (х+1)4+9(х+1)2+20=0;  б) (2х-3)4-(2х-3)2-3=0.<o>Решение:а)(х+1)4+9(х+1)2+20=0 — биквадратное уравнение. Введем замену (x+1)2=у:у2+9у+20=0;по теореме Виетта у1+у2=-9, у1*у2=20, следовательно у1=4,у2=-5.Найдем х:  (x+1)2=-5, решений нет.(x+1)2=4, следовательно х+1=-2 или х+1=2; х=-3 или х=1.Ответ: -3; 1.

Решение №1 (электронный вид):

а) `(x+3)^2/5+20/(x+3)^2=8((x+3)/5-2/(x+3))+1`; На ноль делить нельзя, поэтому ОДЗ: `x!=-3`. Пусть `t=(x+3)/5-2/(x+3)`. Возведем `t` в квадрат, применив формулу квадрата разности `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`: `t^2=(x+3)^2/25-0,8+4/(x+3)^2`; `t^2+0,8=(x+3)^2/25+4/(x+3)^2`. Умножим обе части уравнения на `5`: `5t^2+4=(x+3)^2/5+20/(x+3)^2`. Получилось то же выражение, что в левой части уравнения. Сделаем замену: `5t^2+4=8t+1`; `5t^2+4-8t-1=0`; `5t^2-8t+3=0` `D=b^2-4ac=` `64-4*5*3=4`; `t=(8+2)/10=1`; `t=(8-2)/10=0,6`.При `t=1`: `(x+3)/5-2/(x+3)=1`; Найдем общий знаменатель: `(x+3)(x+3)-2*5-1*5*(x+3)=0`; `x^2+6x+9-10-5x-15=0=0`; `x^2+x-16=0`; `D=1-4*(-16)=65`; `x=(-1+-sqrt(65))/2`.При `t=0,6`: `(x+3)/5-2/(x+3)=0,6`; Найдем общий знаменатель: `(x+3)(x+3)-2*5-0,6*5*(x+3)=0`; `x^2+3x-10=0`; `D=9-4*(-10)=49`; `x=(-3+7)/2=2`; `x=(-3-7)/2=-5`. б) Отберем корни, принадлежащие отрезку `[-6; -4]`. Сразу видно, что `2` не входит в данный отрезок, а `-5` входит. `(-1-sqrt(65))/2=` `-sqrt(1/4)-sqrt(65/4)=` `-sqrt(66/4)=` `-sqrt(16,5)`; `(-1+sqrt(65))/2=` `-sqrt(1/4)+sqrt(65/4)=` `sqrt(64/4)=` `sqrt(16)`; `-6=-sqrt(36)`; `-4=-sqrt(16)`. Теперь видно, что `-6 < (-1-sqrt(65))/2 < -4 < (-1+sqrt(65))/2`. Значит, данному отрезку принадлежит только `(-1-sqrt(65))/2`. Получились следующие корни: `-5; (-1-sqrt(65))/2`. </span></span></span></span></span>

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий