Пример №89 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс

Решение №1 (электронный вид):

а) `(x-1)^2/8+8/(x-1)^2=7((x-1)/4-2/(x-1))-1`; На ноль делить нельзя, поэтому ОДЗ: `x!=1`. Пусть `t=(x-1)/4-2/(x-1)`. Возведем `t` в квадрат, применив формулу квадрата разности `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`: `t^2=(x-1)^2/16-1+4/(x-1)^2`; `t^2+1=(x-1)^2/16+4/(x-1)^2`. Умножим обе части уравнения на `2`: `2t^2+2=(x-1)^2/8+8/(x-1)^2`. Получилось то же выражение, что в левой части уравнения. Сделаем замену: `2t^2+2=7t-1`; `2t^2+2-7t+1=0`; `2t^2-7t+3=0` `D=b^2-4ac=` `49-4*2*3=25`; `t=(7+5)/4=3`; `t=(7-5)/4=0,5`.При `t=3`: `(x-1)/4-2/(x-1)=3`; Найдем общий знаменатель: `(x-1)(x-1)-2*4-3*4*(x-1)=0`; `x^2-2x+1-8-12x+12=0=0`; `x^2-14x+5=0`; `D=196-4*5=176`; `x=(14+-sqrt(176))/2=` `7+-sqrt(44)=` `7+-2sqrt(11)`.При `t=0,5`: `(x-1)/4-2/(x-1)=0,5`; Найдем общий знаменатель: `(x-1)(x-1)-2*4-0,5*4*(x-1)=0`; `x^2-4x-5=0`; `D=16-4*(-5)=36`; `x=(4+6)/2=5`; `x=(4-6)/2=-1`. б) Отберем корни, принадлежащие отрезку `[-2; 3]`. Сразу видно, что `5` не входит в данный отрезок, а `-1` входит. `7-2sqrt(11)=` `sqrt(49)-sqrt(44)=` `sqrt(5)`; `7+2sqrt(11)=` `sqrt(49)+sqrt(44)=` `sqrt(93)`; `3=sqrt(9)`; `-2=-sqrt(4)`. Теперь видно, что `-2 < 7-2sqrt(11) < 3 < 7+2sqrt(11)`. Значит, данному отрезку принадлежит только `7-2sqrt(11)`. Получились следующие корни: `-4; 7-2sqrt(11)`.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий