Правильная шестиугольная пирамида

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

Сфера

  • около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие).[4] Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
  • в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус

  • Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);[5]
  • Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр

  • Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
  • Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Элементы пирамиды

  • апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины [3];
  • боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
  • боковые ребра — общие стороны боковых граней;
  • вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
  • высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
  • диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
  • основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то:

  • около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
  • также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Площадь основания пирамиды

В основаниях пирамиды находится правильный шестиугольник со стороной $a$. По свойствам правильного шестиугольника, площадь основания пирамиды равна $$ S_{text{осн.}}=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2 $$

История развития геометрии пирамиды

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит[2], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий