2синус альфа + синус 2 альфа 2 синус альфа — синус 2 альфа вычислите если косинус альфа = 1/5

Доказательство формул двойного угла

Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

<math><mi>sin</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo> </mo><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>β</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>β</mi></math>и косинуса суммы <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo> </mo><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>β</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>β</mi></math>. Предположим, что <math><mi>β</mi><mo>=</mo><mi>α</mi></math>, тогда получим, что

<math><mi>sin</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo> </mo><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math> и <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo> </mo><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></math>

Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math> и <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi></math>.

Остальные формулы <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></math> и <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> приводят к виду <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></math>, при замене <math><mn>1</mn></math> на сумму квадратов по основному тождеству<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>. Получаем, что <math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>.  Так <math><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></math> и <math><mn>2</mn><mo>·</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mo>(</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>.</mo></math>

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> и <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>. После преобразования получим, что <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> и <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>. Разделим выражение на <math><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></math>, где <math><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>≠</mo></math> с любым значением <math><mi>α</mi></math>, когда <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math> определен. Другое выражение поделим на <math><msup><mi>sin</mi><mrow><mn>2</mn><mo> </mo></mrow></msup><mi>α</mi></math>, где <math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>≠</mo></math> с любыми значениями <math><mi>α</mi></math>, когда <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></math> имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:

<math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></mstyle><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></mstyle><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo><mn>1</mn></mstyle><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид <math><mi>n</mi><mi>α</mi></math> записи, где <math><mi>n</mi></math> является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>n</mi><mi>α</mi></math>имеет то же значение, что и <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mi>α</mi><mo>)</mo></math>. При обозначении <math><msup><mi>sin</mi><mi>n</mi></msup><mo> </mo><mi>α</mi></math> имеем аналогичную запись<math><mo>(</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><msup><mo>)</mo><mi>n</mi></msup></math>. Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями <math><mi>n</mi></math>.

Ниже приведены формулы двойного угла:

<math><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac></math>

Отметим, что данные формулы <math><mi>sin</mi></math> и <math><mi>cos</mi></math> применимы с любым значением угла <math><mi>α</mi></math>. Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении <math><mi>α</mi></math>, где <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></math> имеет смысл, то есть <math><mi>α</mi><mo>≠</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>z</mi></math>, <math><mi>z</mi></math> является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом <math><mi>α</mi></math>, где <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>2</mn><mi>α</mi></math> определен на <math><mi>α</mi><mo>≠</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>z</mi></math>.

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Примеры использования формул двойного угла

Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул <math><mn>2</mn><mi>α</mi></math> для <math><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></math>, применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если <math><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></math>, тогда <math><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>60</mn><mo>°</mo></math>. Проверим значения <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo></math>.

Подставив значения, получим <math><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow></mfrac></math> и <math><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow></mfrac><mo>.</mo></math>.

Известно, что <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math> и

<math><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac></math>, тогда отсюда видим, что

<math><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mstyle><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mo>(</mo><mstyle><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac></mstyle><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math> 

и  <math><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>t</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac></math>

Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для <math><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></math> подтверждена.

Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от <math><mn>2</mn><mi>α</mi></math>. В примере допускается применение формулы двойного угла <math><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>5</mn></mfrac></math>. Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим <math><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>5</mn></mfrac><mo>:</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>10</mn></mfrac></math>. Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь вид<math><mi>cos</mi><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>5</mn></mfrac><mo>=</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>10</mn></mfrac><mo>-</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>10</mn></mfrac></math>.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 1

Представить <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac></math> через тригонометрические функции, при <math><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac></math>.

Решение

Заметим, что из условия имеем <math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>·</mo><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac></math>. Тогда использовав <math><mn>2</mn></math> раза формулу двойного угла, выразим <math><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac></math> через тригонометрические функции угла <math><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac></math>. Применяя формулу двойного угла, получим <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>3</mn></mfrac></math>. После чего к функциям <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>3</mn></mfrac></math> и <math><mi>cos</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>3</mn></mfrac></math>применим формулы двойного угла: <math><mi>sin</mi><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo> </mo><mfrac><mi>α</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>5</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>sin</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>·</mo><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>·</mo><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac></math>

Ответ: <math><mi>sin</mi><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>·</mo><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>·</mo><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi>α</mi><mn>6</mn></mfrac></math>.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий