Содержание
Тригонометрические функции суммы и разности углов
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin βsin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin βcos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin βcos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β
| tg(α + β) = | tg α + tg β |
| 1 – tgα · tg β |
| tg(α – β) = | tg α – tg β |
| 1 + tgα · tg β |
| ctg(α + β) = | ctgα · ctg β – 1 |
| ctg β + ctg α |
| ctg(α – β) = | ctgα · ctg β + 1 |
| ctg β – ctg α |
Формулы приведения.
|
Функция / угол в рад. |
π/2 – α |
π/2 + α |
π – α |
π + α |
3π/2 – α |
3π/2 + α |
2π – α |
2π + α |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
sin |
cos α |
cos α |
sin α |
– sin α |
– cos α |
– cos α |
– sin α |
sin α |
|
cos |
sin α |
– sin α |
– cos α |
– cos α |
– sin α |
sin α |
cos α |
cos α |
|
tg |
ctg α |
– ctg α |
– tg α |
tg α |
ctg α |
– ctg α |
– tg α |
tg α |
|
ctg |
tg α |
– tg α |
– ctg α |
ctg α |
tg α |
– tg α |
– ctg α |
ctg α |
|
Функция / угол в ° |
90° – α |
90° + α |
180° – α |
180° + α |
270° – α |
270° + α |
360° – α |
360° + α |
Основное тригонометрическое тождество:
sin2α+cos2α=1
Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.
Соотношение между косинусом и тангенсом:
1/cos2α−tan2α=1 или sec2α−tan2α=1.
Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.
Тригонометрические функции
sin α, cos α
| tg α = | sin α | , α ≠ | π | + πn, n є Z |
| cos α | 2 |
| ctg α = | cos α | , α ≠ π + πn, n є Z |
| sin α |
| sec α = | 1 | , α ≠ | π | + πn, n є Z |
| cos α | 2 |
| cosec α = | 1 | , α ≠ π + πn, n є Z |
| sin α |
Вывод формул
Для вывода формул суммы и разности синусов можно использовать формулы сложения, в частности, формулысинуса суммы 
,синуса разности 
,косинуса суммы икосинуса разности .
Также нам потребуется представление углов и в виде и . Такое представление правомерно, так как и для любых углов и .
Теперь подробно разберем вывод формулы суммы синусов двух углов вида .
Сначала в сумме заменяем на , а на , при этом получаем . Теперь к применяем формулу синуса суммы, а к – формулу синуса разности:
После приведения подобных слагаемых получаем . В итоге имеем формулу суммы синусов вида .
Для вывода остальных формул нужно лишь проделать аналогичные действия. Приведем вывод формул разности синусов, а также суммы и разности косинусов:
Для разности косинусов мы привели формулы двух видов или . Они эквивалентны, так как , что следует из свойств синусов противоположных углов.
Итак, мы разобрали доказательство всех формул суммы и разности синусов и косинусов.
Формулы понижения степени
… Подготовка формул …
