Правила нахождения производных
Пример 1. Найти производную функции y=cos4x. Решение. Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x), получим (cos4x)′cos x = 4cos4-1x = 4cos3xно промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной х; поэтому надо полученный результат умножить на производную от cos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим y′x = (cos4x)′cos x·(cosx)′x = 4·cos3x·(-sin x) = -4·cos3x·sin xПри дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы. Пример 2. Найти производную функции . . В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x))v(x), или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования. Пример 3. Найти производную функции . Решение. Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию Учитывая, что , будем иметь Но , откуда . Пример 4. Найти производную функции y=xexРешение. ; .
