Правила ввода функций в онлайн калькуляторах OnlineMSchool.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

<math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math>.

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

<math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math>.

Раскроем скобки:

<math><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math>.

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул. 

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

<math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>·</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>·</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>·</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>·</mo><mi>a</mi><mo>·</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup></math>

Здесь <math><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup></math> — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля.  Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

<math><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfenced><mi>n</mi></mfenced><mo>!</mo></mrow><mrow><mfenced><mi>k</mi></mfenced><mo>!</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mrow><mfenced><mi>k</mi></mfenced><mo>!</mo></mrow></mfrac></math>

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

<math><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>a</mi><mn>4</mn></msub><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>-</mo><mn>1</mn><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub></math>

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

<math><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math>

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней. 

Для четных показателей 2m:

<math><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math>

Для нечетных показателей 2m+1:

<math><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi></mrow></msup></mrow></mfenced></math>

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при <math><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math> и <math><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math> соответственно. Для разности кубов <math><mi>b</mi></math> также заменяется на <math><mo>-</mo><mi>b</mi></math>.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

<math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math>.

Говорят: квадрат суммы двух выражений <math><mi>a</mi></math> и <math><mi>b</mi></math> равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности <math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math>  запишем:

квадрат разности двух выражений <math><mi>a</mi></math> и <math><mi>b</mi></math> равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Прочитаем формулу <math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup></math>. Куб суммы двух выражений <math><mi>a</mi></math> и <math><mi>b</mi></math> равен сумме кубов этих выражений,  утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов <math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup></math>. Куб разности двух выражений <math><mi>a</mi></math> и <math><mi>b </mi></math>равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула <math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math> (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа <math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math> и <math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math> для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий