Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.
Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.
<math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math>.
Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.
<math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math>.
Раскроем скобки:
<math><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math>.
Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.
Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.
<math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>·</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>·</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>·</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>·</mo><mi>a</mi><mo>·</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>·</mo><msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup></math>
Здесь <math><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup></math> – биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:
<math><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfenced><mi>n</mi></mfenced><mo>!</mo></mrow><mrow><mfenced><mi>k</mi></mfenced><mo>!</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mrow><mfenced><mi>k</mi></mfenced><mo>!</mo></mrow></mfrac></math>
Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы – это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.
Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
<math><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>a</mi><mn>4</mn></msub><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>-</mo><mn>1</mn><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub></math>
Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Еще одна формула, которая может пригодится – формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.
<math><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math>
Эту формулу обычно разделяют на две формулы – соответственно для четных и нечетных степеней.
Для четных показателей 2m:
<math><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math>
Для нечетных показателей 2m+1:
<math><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi></mrow></msup></mrow></mfenced></math>
Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при <math><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math> и <math><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math> соответственно. Для разности кубов <math><mi>b</mi></math> также заменяется на <math><mo>-</mo><mi>b</mi></math>.
Как читать формулы сокращенного умножения?
Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.
<math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math>.
Говорят: квадрат суммы двух выражений <math><mi>a</mi></math> и <math><mi>b</mi></math> равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.
Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности <math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math> запишем:
квадрат разности двух выражений <math><mi>a</mi></math> и <math><mi>b</mi></math> равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.
Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Прочитаем формулу <math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup></math>. Куб суммы двух выражений <math><mi>a</mi></math> и <math><mi>b</mi></math> равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.
Переходим к чтению формулы для разности кубов <math><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup></math>. Куб разности двух выражений <math><mi>a</mi></math> и <math><mi>b </mi></math>равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.
Пятая формула <math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math> (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.
Выражения типа <math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math> и <math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math> для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.
С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
ⓘ Мах, единица измерения ..Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
