Ответы: Найдите наименьший положительный корень уравнения sin пx/3=минусом корень из 3/2…

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения (sin x=a)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{2}).

Это не вызывает затруднений:

( left[ begin{gathered}x=frac{π}{6}+2πn, n∈Z\ x=frac{5π}{6}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{3}).

Что тут будет ответом? Не (frac{π}{6}), не (frac{π}{4}), даже не (frac{π}{7}) – вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно (arcsin⁡frac{1}{3}), потому что известно, что синус равен (frac{1}{3}). Длина дуги от (0) до правой точки тогда тоже будет равна (arcsin⁡frac{1}{3}). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному (arcsin⁡frac{1}{3}) от (π), то её значение составляет (π- arcsin⁡frac{1}{3}).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{3}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{3}+2πl, l∈Zend{gathered}right.) Без арксинусов решить уравнение (sin ⁡x=frac{1}{3}) не получилось бы. Как и уравнение (sin ⁡x=0,125), (sin ⁡x=-frac{1}{9}), (sin⁡ x=frac{1}{sqrt{3}}) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только (9) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{sqrt{3}}). Решение:

Ответ:   ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{sqrt{2}}).

Решение: Кто поторопился написать ответ ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{sqrt{2}}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{sqrt{2}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров (arcsin⁡ frac{1}{sqrt{2}}) – вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух (frac{1}{sqrt{2}} = frac{1 cdot sqrt{2}}{sqrt{2} cdot sqrt{2}}= frac{sqrt{2}}{2}). Таким образом, получаем:

(arcsin⁡ frac{1}{sqrt{2}} = arcsin frac{sqrt{2}}{2}=frac{π}{4})

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать (frac{π}{4}).

Ответ:   ( left[ begin{gathered}x=frac{π}{4}+2πn, n∈Z\ x=frac{3π}{4}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac{7}{6}).

Решение: И вновь тот, кто поторопился написать ( left[ begin{gathered}x= arcsin frac{7}{6}+2πn, n∈Z\ x=π- arcsinfrac{7}{6}+2πl, l∈Zend{gathered}right.) на ЕГЭ потеряет (2) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать (arcsin⁡frac{7}{6})? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен (1) и больше или равен (-1). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Ответ:   решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если (sin ⁡x) равен не табличному значению между (1) и (-1), то решения будут выглядеть как: ( left[ begin{gathered}x= arcsin a +2πn, n∈Z\ x=π- arcsin a +2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Решение №1 (электронный вид):

решение скоро будет

Как вычислить арксинус?

Чтобы вычислить арксинус – нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от (-frac{π}{2}) до (frac{π}{2}) ) равен аргументу арксинуса?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) Синус какого числа равен (-frac{1}{2})? Или в более точной формулировке можно спросить так: если (sin ⁡x=-frac{1}{2}), то чему равен (x)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между (-frac{π}{2}) и (frac{π}{2}). Ответ очевиден:

(arcsin⁡(-frac{1}{2})=-frac{π}{6})

б) Синус какого числа равен (frac{sqrt{3}}{2})? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ (frac{π}{3}).

(arcsin⁡(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{π}{3})

(arcsin⁡(-1)=-frac{π}{2})

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами: