Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

Взаимно простые числа

Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.

Калькулятор общего делителя и кратного

При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Теорема.

Пусть даны целые положительные числа a1, a2, …, ak, наименьшее общее кратное mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mkв€’1, ak).

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Пример.

Найдите НОК четырех чисел 140, 9, 54 и 250.

Решение.

В этом примере a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.

Сначала находим m2=НОК(a1, a2)=НОК(140, 9). Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9), имеем 140=9В·15+5, 9=5В·1+4, 5=4В·1+1, 4=1В·4, следовательно, НОД(140, 9)=1, откуда НОК(140, 9)=140В·9:НОД(140, 9)=140В·9:1=1 260. То есть, m2=1 260.

Теперь находим m3=НОК(m2, a3)=НОК(1 260, 54). Вычислим его через НОД(1 260, 54), который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54В·23+18, 54=18В·3. Тогда НОД(1 260, 54)=18, откуда НОК(1 260, 54)=1 260В·54:НОД(1 260, 54)=1 260В·54:18=3 780. То есть, m3=3 780.

Осталось найти m4=НОК(m3, a4)=НОК(3 780, 250). Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250В·15+30, 250=30В·8+10, 30=10В·3. Следовательно, НОД(3 780, 250)=10, откуда НОК(3 780, 250)=3 780В·250:НОД(3 780, 250)=3 780В·250:10=94 500. То есть, m4=94 500.

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500.

Ответ:

НОК(140, 9, 54, 250)=94 500.

Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее.

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.

Решение.

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2В·2В·3В·7, 6=2В·3, 48=2В·2В·2В·2В·3, 7 (7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11В·13.

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2, 2, 3 и 7) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6. Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84. Дальше к множителям 2, 2, 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48, получаем набор множителей 2, 2, 2, 2, 3 и 7. К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143. Получаем произведение 2В·2В·2В·2В·3В·7В·11В·13, которое равно 48 048.

Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.

Ответ:

НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.

К началу страницы

Основные понятия

Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12.

Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.

Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=aВ·b:НОД(a, b). Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70.

Решение.

В этом примере a=126, b=70. Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=aВ·b:НОД(a, b). То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126, после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70), используя алгоритм Евклида: 126=70В·1+56, 70=56В·1+14, 56=14В·4, следовательно, НОД(126, 70)=14.

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126В·70:НОД(126, 70)=126В·70:14=630.

Ответ:

НОК(126, 70)=630.

Пример.

Чему равно НОК(68, 34)?

Решение.

Так как 68 делится нацело на 34, то НОД(68, 34)=34. Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68В·34:НОД(68, 34)=68В·34:34=68.

Ответ:

НОК(68, 34)=68.

Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b: если число a делится на b, то наименьшее общее кратное этих чисел равно a.

К началу страницы

Примеры из реальной жизни

Общий знаменатель дробей

Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.

Решение линейных диофантовых уравнений

Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.

Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий