Корень n-ой степени (10-11 класс). Как вычислить корень n-ой степени?

Как вычислить корень n-ой степени?

Чтобы вычислить корень (n)-ой степени, надо задать себе вопрос: какое число в (n)-ой степени, даст выражение под корнем?

Например. Вычислите корень (n)-ой степени: а)(sqrt[4]{16}); б) (sqrt[3]{-64}); в) (sqrt[5]{0,00001}); г)(sqrt[3]{8000}); д) (sqrt[4]{frac{1}{81}}).

а) Какое число в (4)-ой степени, даст (16)? Очевидно, (2). Поэтому:

(sqrt[4]{16}=2)

б) Какое число в (3)-ей степени, даст (-64)?

(sqrt[3]{-64}=-4)

в) Какое число в (5)-ой степени, даст (0,00001)?

(sqrt[5]{0,00001}=0,1)

г) Какое число в (3)-ей степени, даст (8000)?

(sqrt[3]{8000}=20)

д) Какое число в (4)-ой степени, даст (frac{1}{81})?

(sqrt[4]{frac{1}{81}}=frac{1}{3})

Мы рассмотрели самые простые примеры с корнем (n)-ой степени. Для решения более сложных задач с корнями (n)-ой степени – жизненно необходимо знать их свойства.

Пример.  Вычислите:

(sqrt 3cdot sqrt[3]{-3} cdot sqrt{27} cdot sqrt[3]{9} -) (frac{sqrt[5]{-64}}{sqrt[5]{2}})(=)

В данный момент ни один из корней нельзя вычислить. Поэтому применим свойства корня (n)-ой степени и преобразуем выражение.(frac{sqrt[5]{-64}}{sqrt[5]{2}})(=)(sqrt[5]{frac{-64}{2}})(=)(sqrt[5]{-32})  т.к. (frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}})(=)(sqrt[n]{frac{a}{b}})

(=sqrt{3}cdot sqrt[3]{-3}cdot sqrt{27}cdot sqrt[3]{9}-sqrt[5]{-32}=)

 
 

(=sqrt{81}cdot sqrt[3]{-27}+5=)

 

(=9cdot(-3)+5 =-27+5=-22)

Метод умножения показателей с множителями

Алгоритм действий:

Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:

Пример

Пример 1: <math><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>×</mo><msqrt><mn>10</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>3</mn><msqrt><mo>?</mo></msqrt><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>3</mn></math>

Пример 2: <math><mn>4</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>×</mo><mn>3</mn><msqrt><mn>6</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>12</mn><msqrt><mo>?</mo></msqrt><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mn>12</mn></math>

Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:

Пример

Пример 1: <math><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>×</mo><msqrt><mn>10</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>3</mn><msqrt><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></msqrt><mo>=</mo><mn>3</mn><msqrt><mn>20</mn></msqrt></math>

Пример 2: <math><mn>4</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>×</mo><mn>3</mn><msqrt><mn>6</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>12</mn><msqrt><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></msqrt><mo>=</mo><mn>12</mn><msqrt><mn>18</mn></msqrt></math>

Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, — требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:

Пример

Пример 1: <math><mn>3</mn><msqrt><mn>20</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>3</mn><msqrt><mo>(</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></msqrt><mo>=</mo><mn>3</mn><msqrt><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>×</mo><mn>5</mn></msqrt><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>6</mn><msqrt><mn>5</mn></msqrt></math>

Пример 2: <math><mn>12</mn><msqrt><mn>18</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>12</mn><msqrt><mo>(</mo><mn>9</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></msqrt><mo>=</mo><mn>12</mn><msqrt><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>×</mo><mn>2</mn></msqrt><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>12</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>36</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math>

Геометрия

Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

Если равносторонний треугольник со сторонами длиной 1 делится на две равные половины, пересечением внутреннего угла для составления прямого угла с одной стороной, то получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу со стороной 1 и катеты длиной 1/2 и Поэтому тангенс 60° равен

Так же, это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

является длиной диагонали куба со стороной 1.

Корень n-ой степени и квадратный корень связаны?

Да, арифметический квадратный корень является как раз корнем (n)-ой степени, у которого (n=2). Математики договорились для упрощения записи эту двойку над корнем не писать, то есть (sqrt[2]{a}) записывать просто (sqrt{a}). Суть при этом осталась той же.

3b9010daceb82a70efa643d53cf715fe.png

Заметим, что также как и в квадратном корне, корнем (n)-ой степени из (a) называют число (b), а не запись (sqrt[n]{a}). То есть, корень третьей степени из (8), это именно (2), а не (sqrt[3]{8}). Но если корень «неизвлекаем» — его проще записать как (sqrt[n]{a}) (например, (sqrt[3]{23}). Такие числа называются иррациональными.

В любом случае, любой корень любой степени — это просто число, пусть и записанное в непривычном вам виде.

Использование в других областях

Энергетика

При трехфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в больше модуля фазного напряжения

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий