Как найти угол 90 градусов с помощью рулетки без дополнительных приспособлений

Свойства

Далее предполагаем, что 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png и длины катетов, а длина гипотенузы

  • (Теорема Пифагора)
  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,
  • Для медиан, и выполняется следующее соотношени:
    • В частности, медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Высота

Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует:

  • Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух сегментов гипотенузы.
  • Каждый катет треугольника есть среднее пропорциональное гипотенузы и смежных сегментов.
  • Справедливы соотношения:
(иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)

где a, b, c, d, e, f показаны на диаграмме.[1] Следовательно:

  • Высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:[2][3]

Характеристики

Треугольник ABC со сторонами a, b, c (где c — самая длинная сторона), площади T, с описанной окружностью радиуса R является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно одно из следующих соотношений:[4]

  • , то есть длинная сторона является диаметром описанной окружности.
  • Описанная окружность является касательной к окружности девяти точек.

Тригонометрические соотношения

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого данного угла можно построить прямоугольный треугольник, содержащий такой угол, и со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой, связанными с этим углом определёнными выше соотношениями. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а зависят только от заданного угла, так как все треугольники, построенные таким образом, являются подобными. Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:

Специальные прямоугольные треугольники

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определённых углов, используя прямоугольные треугольники с особыми значениями углов. К таким треугольникам относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любых значений, кратных π/6, и »треугольник 45-45-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для значений, кратных π/4.

Теорема Фалеса

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

Другие свойства

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:

Если отрезки длиной p и q, исходящие из вершины C, делят гипотенузу на три равных отрезка длины c/3, то:[5]:pp. 216-217

Прямоугольный треугольник является единственным треугольник с двумя, а не тремя, отличными друг от друга вписанными квадратами.[6]

Пусть h и s (h>s) сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Тогда:

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трёх описанных окружностей.

Скачать:

Вложение Размер
x-office-document.pngsr_teorema_pryamoug_tr_i_ugol_30.docx 30.73 КБ

2. Мотивационный этап

Цель: Побуждение интереса к изучению теоремы об угле 30 градусов в прямоугольном треугольнике, подведение обучающихся к раскрытию содержания теоремы. Прием – лабораторная работа.

Учащиеся разделены на 5 групп. Группы получают карточки с готовыми чертежами и соответствующими вопросами на выбор для исследования.

Вопрос №1: Чему равна сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике?

Вопрос №2: Какая взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника, у которого один из острых углов равен 30 градусов?

Вопрос №3: Какая особенность у прямоугольных треугольников, в которых один из катетов равен половине гипотенузы?

Задание для исследования 1 группе

По рисунку найдите неизвестные углы, заполните таблицу.

Углы

С

А

В

А + В

1

30⁰

2

50⁰

3

25⁰

4

45⁰

Сделайте вывод о сумме острых углов прямоугольного треугольника.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника ________________

Задание для исследования 2 группе

Измерьте катет напротив угла в 30⁰ и гипотенузу, заполните таблицу.

 №

С

А

ВС

АВ

1

2

Сделайте вывод: Какая взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника, у которого один из острых углов 30⁰?

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 300 лежит ______________________

Задание для исследования 3 группе

Измерьте угол против катета, который в 2 раза меньше гипотенузы.  Заполните таблицу.

С

ВС (мм)

АВ (мм)

Ð  А

1

2

Сделайте вывод: Какая особенность у острого угла прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен половине гипотенузы?

В прямоугольном треугольнике против катета равного половине гипотенузы лежит _______________________________

После того, как учащиеся  приходят к какому-то выводу, представитель каждой группы выдвигает свою гипотезу.

Предполагаемые гипотезы:

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300.

— ВНИМАНИЕ, ребята!!!

Гипотеза — это всего лишь предположение, которое просто необходимо доказать!

На доске (заранее на обратной стороне) чертежи свойств с «дано» и «доказать».

Примечания

  1. Wentworth p. 156
  2. Voles, Roger, «Integer solutions of d8dbb0f76edfa965b2c40f86dc896c34.pngMathematical Gazette 83, July 1999, 269—271.
  3. Richinick, Jennifer, «The upside-down Pythagorean Theorem, » Mathematical Gazette 92, July 2008, 313—317.
  4. Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, «Complex Numbers from A to…Z», Birkhäuser, 2006, pp. 109—110.
  5. Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
  6. Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278—284.

Прямой угол в интерьере

В большинстве своем помещения представлены 4 стенами, полом и потолком. Здесь практически все смежные углы должны быть равны 90 градусам, если важна строгая геометрия. Однако, как правило, выводятся они только в двух случаях: под мебель и ванну. Если это момент упустить, то визуально искривления будут бросаться в глаза.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий