Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют указать значения тригонометрических функций для углов и 90 градусов: , а котангенс нуля градусов не определен, и, а тангенс 90 градусов не определен.

В курсе геометрии из прямоугольных треугольников с углами 30, 60 и 90 градусов, а также 45, 45 и 90 градусов находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 градусов:, и.

Занесем указанные значения тригонометрических функций для углов , 30, 45, 60 и 90 градусов (, ПЂ/6, ПЂ/4, ПЂ/3, ПЂ/2 радиан) в таблицу, назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Используя формулы приведения, только что составленную таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно расширить, дополнив значениями тригонометрических функций для углов 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330 и 360 градусов (0, ПЂ/6, ПЂ/4, ПЂ/3, ПЂ/2, …, 2ПЂ радиан). При этом она принимает следующий вид.

Опираясь на свойство периодичности синуса, косинуса, тангенса и котангенса, таблицу основных значений тригонометрических функций можно расширить еще, заменив углы 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов соответственно на , где z – любое целое число. Из такой таблицы можно найти значения для всех углов, которым соответствуют точки единичной окружности, указанные на чертеже ниже.

Основные значения тригонометрических функций, собранные в заполненной выше таблице, желательно знать наизусть, так как они очень часто используются при решении задач.

К началу страницы

Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов?

Использовать таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов очень просто – она дает непосредственные значения тригонометрических функций, находящиеся на пересечении соответствующей строки, указывающей название тригонометрической функции, и столбца, указывающего данное значение угла.

Например, значение косинуса угла 60 градусов находится на пересечении строки, в крайней левой ячейке которой находится запись cos, и столбца, в верхней ячейке которого записан угол 60 градусов. Так из таблицы находим, что значение косинуса 60 градусов равно одной второй. Для разъяснения приведем графическую иллюстрацию.

Расширенная таблица основных значений тригонометрических функций используется аналогично. С помощью расширенной таблицы основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно сразу указать, например, чему равен тангенс угла 1 020 градусов. Он равен минус корню из трех, так как . Проиллюстрируем это.

К началу страницы

Как находить синус и косинус любого угла?

Простой алгоритм:

1. Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
2. Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример.  Вычислите (sin⁡300^°) и (cos⁡300^°) .Решение:   (⁡300^°=360^°-60^°)

(cos⁡ 300^°=frac{1}{2}),     (sin⁡{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).

Пример . Вычислите (sin⁡(-540^°)) и (cos(-540^°)) .Решение.    (-540^°=-360^°-180^°).

(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos⁡(-540^°)=-1), а (sin⁡(-540^° )=0).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

Для этого нужно знать несколько фактов:

• Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

• Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;

• Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°),  а четверти (90^°);

• Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:

• Одна точка может соответствовать разным углам;
• Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).Решение:

Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).Решение:   (225^°=180^°+45^°) (-135^°=-90^°-45^°)

Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).Решение:    (420^°=360^°+60^°) (-390^°=-360^°-30^°)

Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно: 1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу; 2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен – абсциссе, а синус угла – ординате.

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).

Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin⁡30^° =frac{1}{2}).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».

Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5);    (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707);     (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.