Геометрия. Урок 5. Окружность

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

( angle COD = cup CD = alpha ^{circ} )

figura-okruzhnost-i-krug-5.png

Вписанный уголВписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

( angle AOB = 2 angle ADB )

figura-okruzhnost-i-krug-13.png

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

( angle CBD = angle CED = angle CAD = 90^ {circ} )

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

( angle ADB = angle AEB = angle AFB )

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется ( 180^ {circ} ).

( angle ADB + angle AKB = 180^ {circ} )

( angle ADB = angle AEB = angle AFB )

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

( angle DMC = angle ADM + angle DAM = dfrac{1}{2} left ( cup DmC + cup AlB right ) )

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

( angle M = angle CBD — angle ACB = dfrac{1}{2} left ( cup DmC — cup AlB right ) )

Уравнение окружности

1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:

r2 = x2 + y2

2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

r2 = (x — a)2 + (y — b)2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

{ x = a + r cos t
y = b + r sin t

Касательная окружности и ее свойства

Определение.Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами LK и LM(стороны угла), исходящими из одной точки  L (вершина угла).1.jpg

Градусная мера измерения углов 

Единицей измерения углов является градус. Его обозначение °. Угол в 90  называется прямым (AOB); угол, меньший, чем 90°, называется острым (KLM); угол, больший, чем 90°, называется тупым (TNF)Развернутый угол равен 180°.

Радианная мера измерения углов

Радианная мера угла — это величина угла, выраженная в радианах.Радианная мера угла в 1° равна π:180°.Для перевода градусов в радианы,  следует число градусов умножить на пи и разделить на 180°.Пример: 45°= 45°* π:180°= π/4 рад.Градусная мера угла в 1 радиан равна 180°: π.<o>Для перевода радиан в градусы,  следует число радиан умножить на 180°  и разделить на пи.Пример: π/3 рад = π/3 *180 : π = 60°.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы – это два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.Вертикальные углы  – это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Биссектриса угла

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам. Биссектрисы вертикальных углов являются продолжениями одна другой. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

Углы при параллельных прямых

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.Углы, лежащие между прямыми и по одну сторону секущей, называются внутренними односторонними углами. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 180°1+3=180°, 2+4=180°.Углы, лежащие между прямыми и по разные стороны от секущей, называются внутренними накрест лежащими углами.  Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: 1=2  и 3=4.Углы, лежащие по одну сторону секущей, но один из них лежит между заданными прямыми, а другой не лежит между ними, называются соответствующими.Соответствующие углы при параллельных прямых равны: 1=5,  4=6,  7=3, 8=2.

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. BCD — внешний угол треугольника ABC.Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.BCD=ABC+BAC.

Центральный и вписанный углы

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. BOA = дуге ВА.Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. ВСА = 0,5 ВОА.Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий