Задание 13. Математика ЕГЭ. Решите уравнение 6sin^2x + 5sin(π/2-x) – 2 = 0

Решение №1 (электронный вид):

а) `cosx+sqrt((2-sqrt(2))/2 *(sinx+1))=0` ОДЗ: `cosx<=0` `sqrt((2-sqrt(2))/2 *(sinx+1))=-cosx`; Избавимся от корня квадратного, для этого правую и левую части уравнения возведем в квадрат: `(2-sqrt(2))/2 *(sinx+1)=cos^2 x`; Умножим обе части уравнения на два: `(2-sqrt(2)) *(sinx+1)=2cos^2 x`; `2sinx+2-sqrt(2)sinx-sqrt(2)=2cos^2 x`; Применим основное тригонометрическое тождество для правой части уравнения `cos^2 x+sin^2 x=1` `=>` `2cos^2 x+2sin^2 x=2=>` `2cos^2 x=2-2sin^2 x`: `2sinx+2-sqrt(2)sinx-sqrt(2)=2-2sin^2 x`; `(2-sqrt(2))sinx+2-sqrt(2)=2-2sin^2 x`; `2sin^2 x+(2-sqrt(2))sinx+2-sqrt(2)-2=0`; `2sin^2 x+(2-sqrt(2))sinx-sqrt(2)=0`; `D=b^2-4ac=(2-sqrt(2))^2-4*2*(-sqrt(2))=4-4sqrt(2)+2+8sqrt(2)=` `6+4sqrt(2)`. Дискриминант у нас «не красивый», попробуем с ним что-нибудь сделать: `6+4sqrt(2)=` `6+4sqrt(2)+sqrt(2)^2-2=` `sqrt(2)^2+4sqrt(2)+4=` `(sqrt(2)^2+2sqrt(2))+(2sqrt(2)+4)=` `sqrt(2)(sqrt(2)+2)+2(sqrt(2)+2)=(sqrt(2)+2)(sqrt(2)+2)=` `(sqrt(2)+2)^2`. Найдем корни: `sinx_1=(-2+sqrt(2)-sqrt((sqrt(2)+2)^2))/4=(-2+sqrt(2)-sqrt(2)-2)/4=-1`; `sinx_2=(-2+sqrt(2)+sqrt((sqrt(2)+2)^2))/4=(-2+sqrt(2)+sqrt(2)+2)/4=(sqrt(2))/2`.Первый корень: `sinx=-1`; `x=-pi/2+2pin, n in Z`;Второй корень: `sinx=(sqrt(2))/2`; `x=pi/4+2pin, n in Z`; `x=(3pi)/4+2pin, n in Z`. С учетом ОДЗ остаются следующие корни (см. тригонометрическую окружность ниже): `x=-pi/2+2pin, n in Z` и `x=(3pi)/4+2pin, n in Z`.s77853270.jpg б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие промежутку `[-(11pi)/2; -4pi]`.s34791187.jpg Получились следующие корни: `-(21pi)/4; -(9pi)/2`.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий