Предел последовательности и функции одной переменной

Зачем нужны пределы

Пределы как раз и нужны тогда, когда мы имеем дело с бесконечностью. Например, бесконечно большими или бесконечно малыми значениями.

Непонятно, что такое «бесконечно большое» или «бесконечно долго», это не какое-то определенное число. С бесконечно малыми значениями та же ситуация, это не «ноль» но как-то очень близко к нему. Тут и выручают пределы.

Вот какой график получится, если взять функцию y=x2-4/x-2

В точке х=2 — пусто. Потому, что получается 0/0, то есть неопределенность. Но стоит вместо 2 подставить 1,9999999999(9) или 2,000000001(1). Значения бесконечно близкие к 2, но не «два», как график превратится в прямую.

В этом случае речь идет о пределе функции при «икс» стремящемуся к двум, функция стремится к 4.

lim x2-4/x-2

при х→2 lim x2-4/x-2→4

Такой своеобразный «трюк» в расчетах с заменой знака равенства на стрелочку.

Нет, не совсем. Когда речь идет о пределах, имеется в виду процесс, не важно функция это или множество, но предел описывает процесс в динамике. Тогда как знак «равно» означает статическое состояние.

x=1 и x→1, это совсем не одно и то же.

Книги

Распутья

«Я их хранил в приделе Иоанна, Недвижный страж, – хранил огонь лампад. И вот – Она, и к Ней – моя Осанна – Венец трудов – превыше всех наград…»

Венеция

…оценность. Нужно было еще подняться по громадному лифту на верх горы и зайти в собор Notre Dame de la Garde. Там два придела: один внизу, другой наверху. Нижний заперт железной решеткой, верхний откры…

Серебряное кольцо. XVII век: 100 верст от Кремля. Фотоальбом

…ничего не знает об Иосифо-Волоцком или Лужецком монастыре, о Комягине, Тайнинском, Батюшкове, о приделе вдовы Чаплина в Дмитрове и т. д. «Серебряное кольцо» заключает в себе памятники, по качеству не…

Космо-Дамианский храм c приделом Покрова Пресвятой Богородицы в городе Жуковском

«Богословием в красках» называют искусство иконописи и храмовой росписи. Через фреску, икону человек постигает образы мира Небесного. Внимая безмолвному слову иконы, многие поколения верующих открывали свои сердца Богу. Храмовая роспись – основа внутреннего благоукрашения храма, ведь храм являет собой видимое духовное небо на земле. Храм и его росписи – это книга, энциклопедия, наглядно представляющая не только библейские сюжеты, но и историю всего человечества. Настенная роспись в жуковском храме Космы и Дамиана выполнена московскими художниками-монументалистами творческой мастерской «Диалог», выпускниками Московского государственного художественного института им. В.И. Сурикова Константином Охотиным и Дмитрием Лазаревым и их помощниками. Живописцы по просьбе настоятеля ориентировались на стиль мастеров церковной росписи XVII в. ростовско-ярославской и московской школы, которая отличается декоративностью, богатством и насыщенностью цвета. Главная концепция живописцев – не прямое копирование стилистики, а глубокое внутреннее прочтение и осмысление темы, собственные живописные и композиционные решения. Работа художников получила высокую оценку заказчика и искусствоведов. Великолепие росписи, украшающей все стены и купол, вызывает впечатление большого объема и устремленности ввысь, насыщенности светом и цветом. Стенопись составляет единое целое с храмом и его внутренним пространством. Цельность архитектуры храма, росписи, икон и его внутреннего убранства – это главная задача, которую ставили художники и с блеском ее решили. Роспись храма – знаковое событие не только в истории прихода, церковной общины. Это духовный акт, имеющий важнейшее значение просветительского, культурного характера. И он заслуживает должного освещения. Именно поэтому настоятелем храма Космы и Дамиана иереем Александром Топоровым принято решение издать художественный альбом, в котором в полном объеме представлена фресковая роспись, превратившая храм в шедевр современной церковной монументальной живописи.

Раскрытие неопределенностей

Раскрыть неопределенность можно:

  1. С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );
  2. С помощью замечательных пределов;

  3. С помощью правила Лопиталя;

  4. Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).

Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

Неопределенность Метод раскрытия  неопределенности
Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид  <math><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> или <math><mfrac><mrow><mi>k</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></math> то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений
2. Деление бесконечности на бесконечность Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя
3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями Преобразование в  или <math><mfenced>» open=»<«><mfrac><mo>∞</mo><mo>∞</mo></mfrac></mfenced></math> с последующим применением правила Лопиталя
4. Единица в степени бесконечности Использование второго замечательного предела
5.  Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень Логарифмирование выражения с применением равенства <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><msub><mi>x</mi></msub></mrow></munder><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>ln</mi><mfenced><mrow><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><msub><mi>x</mi></msub></mrow></munder><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></math>

Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

Пример 1

Вычислите предел <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msqrt><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn></msqrt></mfrac></math>.

Решение

Выполняем подстановку значений и получаем ответ.

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msqrt><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mn>1</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msqrt><msup><mn>1</mn><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>3</mn><msqrt><mn>4</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></math>

Ответ:<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msqrt><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></math>.

Пример 2

Вычислите предел <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo></mrow></munder><mo>(</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><msup><mo>)</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></msup></math>.

Решение 

У  нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставить<math><mi>x</mi><mo>=</mo></math>.

<math><mo>(</mo><msub><menclose><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></menclose><mrow><mi>x</mi><mo>=</mo></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>5</mn></math>

Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo></mrow></munder><mo>(</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><msup><mo>)</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></msup><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo></mrow></munder><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></math>

Теперь разберемся с показателем – степенной функцией <math><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup></math>. Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>+</mo></mrow></munder><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>+</mo></mrow></munder><msup><mi>x</mi><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></math> и <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>+</mo></mrow></munder><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>+</mo></mrow></munder><msup><mi>x</mi><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></math>

Таким образом, можно записать, что <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo></mrow></munder><mo>(</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><msup><mo>)</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></msup><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo></mrow></munder><mn>2</mn><mo>,</mo><msup><mn>5</mn><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><msup><mn>5</mn><mrow><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></msup></math>.

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo></mrow></munder><mo>(</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><msup><mo>)</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></msup><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo></mrow></munder><mn>2</mn><mo>,</mo><msup><mn>5</mn><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><msup><mn>5</mn><mrow><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></math>

Ответ:<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo></mrow></munder><mo>(</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><msup><mo>)</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></msup><mo>=</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></math>.

Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

Пример 3

Вычислите предел <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msqrt><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></msqrt></mfrac></math>.

Решение

Выполняем подстановку значений.

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msqrt><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mn>1</mn><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>1</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo></math>

В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения.  Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msqrt><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><msqrt><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msqrt><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></msqrt><mo>·</mo><msqrt><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></msqrt><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><msqrt><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfenced><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><msqrt><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>=</mo><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>·</mo><msqrt><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>1</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mo>=</mo></math>

Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.

Ответ: <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msqrt><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo></math>

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 4

Вычислите предел <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>-</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfrac></math>.

Решение

Подставляем значение и получаем запись следующего вида.

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>-</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mn>3</mn></msqrt><mo>-</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mn>3</mn></msqrt></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>9</mn></msqrt><mo>-</mo><msqrt><mn>9</mn></msqrt></mrow></mfrac><mo>=</mo></math>

Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение <math><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced></math>:

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>-</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>-</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math>

Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>-</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced></mrow><mrow><msup><mfenced><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mfenced><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mfenced><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mo>(</mo><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mfenced><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mn>3</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mn>3</mn></msqrt></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>9</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>9</mn></msqrt></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><msqrt><mn>9</mn></msqrt><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>3</mn></math>

Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ:<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><msqrt><mn>12</mn><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>-</mo><msqrt><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>3</mn></math>.

Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

Пример 5

Вычислите предел <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></math>.

Решение 

Выполняем подстановку.

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mn>1</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>·</mo><msup><mn>1</mn><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>·</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo></math>

В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении <math><mi>x</mi></math>, равном единице, числитель и знаменатель обращаются в , то мы можем разложить их на множители и потом сократить на <math><mi>х</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math>,и тогда неопределенность исчезнет.

Выполняем разложение числителя на множители:

<math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mi>D</mi><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>·</mo><mn>1</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>16</mn><mo>⇒</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>16</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><msqrt><mn>16</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>⇒</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>

Теперь делаем то же самое со знаменателем:

<math><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mi>D</mi><mo>=</mo><msup><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>·</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>⇒</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>1</mn></msqrt></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>+</mo><msqrt><mn>1</mn></msqrt></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>⇒</mo><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mn>3</mn><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>

Мы получили предел следующего вида:

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>·</mo><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>·</mo><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mstyle><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfenced><mo>·</mo><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mrow><mn>3</mn><mo>·</mo><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mstyle><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>·</mo><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mstyle><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>4</mn></math>

Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ:<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>4</mn></math>.

Например, <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mo>(</mo><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mroot><mi>x</mi><mn>3</mn></mroot><mo>-</mo><mn>6</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mo>=</mo><mo>∞</mo></math> или <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>21</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow><mn>5</mn></mroot><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mroot><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mn>5</mn></mroot><mo>=</mo><mo>∞</mo></math>.

Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при <math><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></math> у  нас возникает неопределенность вида <math><mfenced>» open=»<«><mfrac><mo>∞</mo><mo>∞</mo></mfrac></mfenced></math>. Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на <math><msup><mi>x</mi><mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup></math>. Приведем пример решения подобной задачи.

Пример 6

Вычислите предел <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow></mfrac></math>.

Решение

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfenced>» open=»<«><mfrac><mo>∞</mo><mo>∞</mo></mfrac></mfenced></math>

Степени числителя и знаменателя равны <math><mn>7</mn></math>. Делим их на <math><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup></math> и получаем:

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup></mfrac></mstyle><mstyle><mfrac><mrow><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo>-</mo><mstyle><mfrac><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>12</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>2</mn><msup><mo>∞</mo><mn>2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo>-</mo><mstyle><mfrac><mn>4</mn><msup><mo>∞</mo><mn>7</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>12</mn><msup><mo>∞</mo><mn>7</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mo>-</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math>

Ответ:<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math>.

Пример 7

Вычислите предел <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>8</mn></msup><mo>+</mo><mn>11</mn></mrow><mn>3</mn></mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math>.

Решение

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>8</mn></msup><mo>+</mo><mn>11</mn></mrow><mn>3</mn></mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfenced>» open=»<«><mfrac><mo>∞</mo><mo>∞</mo></mfrac></mfenced></math>

Числитель имеет степень <math><mfrac><mn>8</mn><mn>3</mn></mfrac></math>, а знаменатель <math><mn>2</mn></math>. Выполним деление числителя и знаменателя на <math><msup><mi>x</mi><mfrac><mn>8</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></math>:

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>8</mn></msup><mo>+</mo><mn>11</mn></mrow><mn>3</mn></mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfenced>» open=»<«><mfrac><mo>∞</mo><mo>∞</mo></mfrac></mfenced><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mstyle><mfrac><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>8</mn></msup><mo>+</mo><mn>11</mn></mrow><mn>3</mn></mroot><msup><mi>x</mi><mstyle><mfrac><mn>8</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></msup></mfrac></mstyle><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><msup><mi>x</mi><mstyle><mfrac><mn>8</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></msup></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>11</mn><msup><mi>x</mi><mn>8</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mn>3</mn></mroot><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mstyle><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></msup></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mstyle><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></msup></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mstyle><mfrac><mn>8</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></msup></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>11</mn><mo>∞</mo></mfrac></mstyle></mrow><mn>3</mn></mroot><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mo>∞</mo></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mo>∞</mo></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mo>∞</mo></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo></mrow><mn>3</mn></mroot><mrow><mo>+</mo><mo>+</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mo>∞</mo></math>

Ответ:<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>8</mn></msup><mo>+</mo><mn>11</mn></mrow><mn>3</mn></mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>∞</mo></math>.

Пример 8

Вычислите предел <math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>10</mn></msup><mo>+</mo><mn>56</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow><mn>3</mn></mroot></mfrac></math>.

Решение

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>10</mn></msup><mo>+</mo><mn>56</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow><mn>3</mn></mroot></mfrac><mo>=</mo><mfenced>» open=»<«><mfrac><mo>∞</mo><mo>∞</mo></mfrac></mfenced></math>

У нас есть числитель в степени <math><mn>3</mn></math> и знаменатель в степени <math><mfrac><mn>10</mn><mn>3</mn></mfrac></math>. Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на <math><msup><mi>x</mi><mfrac><mn>10</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></math>:

<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>10</mn></msup><mo>+</mo><mn>56</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow><mn>3</mn></mroot></mfrac><mo>=</mo><mfenced>» open=»<«><mfrac><mo>∞</mo><mo>∞</mo></mfrac></mfenced><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msup><mi>x</mi><mstyle><mfrac><mn>10</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></msup></mfrac></mstyle><mstyle><mfrac><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>10</mn></msup><mo>+</mo><mn>56</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow><mn>3</mn></mroot><msup><mi>x</mi><mstyle><mfrac><mn>10</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></msup></mfrac></mstyle></mfrac><mo>=</mo><mo>=</mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></msup></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mstyle><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></msup></mfrac></mstyle><mo>-</mo><mstyle><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>x</mi><mstyle><mfrac><mn>10</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></msup></mfrac></mstyle></mrow><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>56</mn><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>12</mn><msup><mi>x</mi><mn>10</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow><mn>3</mn></mroot></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mo>∞</mo></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>2</mn><mo>∞</mo></mfrac></mstyle><mo>-</mo><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mo>∞</mo></mfrac></mstyle></mrow><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>56</mn><mo>∞</mo></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle><mfrac><mn>12</mn><mo>∞</mo></mfrac></mstyle></mrow><mn>3</mn></mroot></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>+</mo><mo>-</mo></mrow><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mo>+</mo></mrow><mn>3</mn></mroot></mfrac><mo>=</mo></math>

Ответ:<math><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mroot><mrow><msup><mi>x</mi><mn>10</mn></msup><mo>+</mo><mn>56</mn><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow><mn>3</mn></mroot></mfrac><mo>=</mo></math>.

Что такое пределы простыми словами

Наверное самое наглядное, что можно вспомнить из истории, это знаменитый парадокс Зенона «Ахиллес и черепаха». Зенон был философом, а не математиком, поэтому мог вполне свободно упражняется в остроумии не заботясь о доказательствах.

Ахиллес и черепаха бегут на перегонки. Черепаха начинает первой, человек догоняет. Ахиллес бежит быстрее, но когда он пробегает 100 шагов, черепаха все рано проползает один. Еще 100 шагов и еще один. Таким образом Ахиллес приближается к черепахе но и она чуть-чуть отдаляется от него. Зенон делает вывод, что Ахиллес будет бесконечно к ней приближаться, но никогда не догонит черепаху!

В этой истории важно не то, что на самом деле она не реальна, а ее «математический смысл». Человек приближается к черепахе но никогда ее не настигает. То есть некий предел (черепаха) к которому стремится Ахиллес.

Говоря простым языком, предел это такое значение, которое нельзя достичь, но можно бесконечно близко к нему приблизится.

То есть, в пределе определенного промежутка времени Ахиллес действительно не догонит черепаху (времени не хватит), но приблизится к ней на бесконечно малое расстояние.

Пределы в математике

Стоит сразу сказать, что определение пределов больше чем одно, потому, что они бывают разные. Есть придел последовательности, а есть предел функции.

Давайте разделим число 10 пополам:

10/2=5, и еще раз, 5/2=2,5 и еще…

Это последовательность n/2: 10…2,5…1,25…

Если делать это 20 раз получится вот такое значение: 0,000019

А если сделать 100 раз, то вот такое: 0,000000000000000000000000000016

Если делить пополам бесконечно, результат будет уменьшатся, в реальной жизни, это будет уже фактически ноль, но в математике, все еще не ноль… Предел этой последовательности будет стремиться к нолю.

Если взять другу последовательность, например n+1. 2…3…4…5…  и снова устремимся в бесконечность. Предел этого множества тоже будет стремится к бесконечности.

Еще один пример

Бросаем монетку. Может выпасть «орел», а может и «решка». Теория вероятности утверждает, что шансы всегда 50/50, то есть вероятность «орла» —  1/2=0,5.

  • Если сделать 10 бросков, может выпасть не 5 и 5, а, например, 4 и 6. То есть 4 «орла» и 6 «решек» вероятность — 0,4
  • А если 100 бросков, 48/52 — 0,48
  • А если 1000 — 499/501 — 0,499
  • 10 000 — 4998/5002 — 0,4998

Каждый раз, значение реально вероятности, приближается к расчетным 0,5. Чтобы получить вероятность ровно 0,5 нужно подбросить монетку бесконечное количество раз.

То есть, при условии, что количество бросков стремится к бесконечности предел предел будет равен 0,5.

Это именно та бесконечность из матанализа о которой было сказано в статьях об интегралах и делении на ноль. Это не какое-то определенное число — это понятие.

Предел последовательности

Предел последовательности — это пространство которое содержит все все элементы последовательности начиная с какого-то значения.

А простыми словами, предел последовательности, простыми словами, это такая «область» куда попадают все значения после определенного порога (в нашем случае – А). На изображении ниже она условно показана синей полоской.

Начиная с 13 значения все последующие находятся так близко друг к другу, что попадают в этот предел. Хотя, конечно не равны ему, а «колеблются» то влево то вправо на предельно малую величину ε. На картинке +ε и -ε. И почти все члены последовательности за исключением первых 13 находятся в интервале (s-ε; s+ε).

ε — это произвольное положительное число.

Можно заметить, что при продолжении вверх последовательности ее значения все равно будут оставаться в пределах «синей полосы».

Можно сказать и так:

Предел числовой последовательности, это число (s на графике) в окрестности которого попадает бесконечно много значений. При этом вне предела, количество значений явно конечно.

Чтобы было еще понятнее: предел последовательности это значение (точка А) выше которого все будет попадать в область не больше s+ε и s-ε. Бесконечное количество таких значений будет «лежать» внутри синей полоски.

Математическим языком можно записать так: s-ε < xn< s+ε или|xn— s| < ε

То есть, все точки будут находится в полосе шириной на сигму правее и на сигму левее. Чем дальше вверх, тем ближе значения будут к s, но не «выпадут» из + или — сигма. Определение предела в математике не то чтобы сложно, оно контринтуитивно. Приходится подключать фантазию, чтобы понять, что на самом деле все просто и понятно.

Все еще достаточно «математически», попробуем человеческим языком:

Самое понятное объяснение таково. Предел последовательности, это такая величина в которую «почти упираются» все ее значения. Некий виртуальный потолок, до которого никак не допрыгнуть, хотя всегда остается совсем чуть-чуть.

Вот, например последовательность n/n+1. Тут видно, что какое значение «n» не подставляй, знаменатель всегда будет на 1 больше. Возьмем «единицу»  1/1+1=0,5, возьмем «десятку» 10/10+1=0,909, а если «двадцатку»  — 0,952, а если «сотню» — 0,990099. какое бы число мы не подставляли, значение всегда будет стремится к единице, но никогда не будет равно единице.

Предел функции простым языком

Фактически это то же самое. За исключением того, что последовательность чисел имеет разрывы, а функция — нет, она не прерывна. Но принципиально это не меняет сути дела.

Предел функции простыми словами объяснить также просто. Предел в какой-то произвольной точке — это величина к которой значение функции приближается. Например, f(x)=2x, а х→0 (икс стремится к нулю).

В этом случае предел функции будет равен lim 2x=0. Или в случае если х→2 то предел равен lim 2x=4. Пока все просто. Вот только зачем вычислять пределы, если можно просто выбросить «lim» и расчеты останутся те ми же?….

Морфология

  • Существительное, неодушевленное, мужской род

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий