Узнаем как понять, почему «плюс» на «минус» дает «минус» ?

Умножение и деление двух чисел со знаком «-»

Если не углубляться в математические нюансы, то можно попробовать более простым способом объяснить правила действий с отрицательными числами.

Допустим, что C — (-V) = D, исходя из этого, C = D + (-V), то есть C = D — V. Переносим V и получаем, что C + V = D. То есть C + V = C — (-V). Этот пример объясняет, почему в выражении, где идут два «минуса» подряд, упомянутые знаки следует поменять на «плюс». Теперь разберемся с умножением.

(-C) х (-V) = D, в выражение можно добавить и вычесть два одинаковых произведения, которые не поменяют его значения: (-C) х (-V) + (C х V) — (C х V) = D.

Вспомная о правилах работы со скобками, получаем:

1) (-C) х (-V) + (C х V) + (-C) х V = D;

2) (-C) х ((-V) + V) + C х V = D;

3) (-C) х 0 + C х V = D;

4) C х V = D.

Из этого следует, что C х V = (-C) х (-V).

Аналогично можно доказать, что и в результате деления двух отрицательных чисел выйдет положительное.

Слушать Драгни – Минус на минус

Примеры из ЕГЭ

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (24sqrt{2},cos⁡(-frac{π}{3}),sin⁡(-frac{π}{4})). Решение. (24sqrt{2},cos⁡(-frac{π}{3}),sin⁡(-frac{π}{4})=-24sqrt{2},cos⁡frac{π}{3},sin⁡frac{π}{4}).

01248e5a4ff736990ad1989fcc8994ec.jpg

Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений (frac{1}{2}), (frac{sqrt{2}}{2}), (frac{sqrt{3}}{2}) принимает наименьшее т.е. (cos,⁡frac{π}{3}=frac{1}{2}). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. (sin⁡,frac{π}{4}=frac{sqrt{2}}{2}). Получается:

(-24sqrt{2},cos⁡frac{π}{3},sin⁡frac{π}{4}=-24sqrt{2}cdot)(frac{1}{2})(cdot)(frac{sqrt{2}}{2})(=)(frac{-24sqrt{2}cdotsqrt{2}}{4})(=)(frac{-24cdot 2}{4})(=-6cdot2=-12)

Ответ: (-12).

Если вы не поняли почему (frac{π}{3}) и (frac{π}{4}) находятся на круге там, где мы из обозначили, то читайте статью «Как обозначать числа с пи на числовой окружности?». А если не поняли, как мы нашли синус и косинус, то читайте статью «Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы».

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (44sqrt{3},tg,(-480^° )). Решение. (44sqrt{3},tg(-480^° )=-44sqrt{3},tg(480^° )=-44sqrt{3},tg(360^°+120^° )=-44sqrt{3},tg(360^°+90^°+30^°)).

Находим (480^°) на окружности:

36b74f2c0d29554089f82b0ff589e0f7.jpg

Соединяем точку, соответствующую (480^°) и центр окружности, и продляем до оси тангенсов:

Мы попадаем в самое маленькое (из стандартных) значение тангенса. Значит, (tg(480^° )=-sqrt{3}). В итоге имеем: (44sqrt{3} tg(-480^° )=-44sqrt{3}cdot(-sqrt{3})=44cdot 3=132). Ответ: (132).

Если вам не понятно, как мы нашли значение тангенса, то читайте статью «Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы?».

Законы математики

Большинство взрослых не в силах объяснить ни себе, ни своим детям, почему так получается. Они твердо усвоили этот материал в школе, но при этом даже не попытались выяснить, откуда взялись такие правила. А зря. Зачастую современные дети не столь доверчивы, им необходимо докопаться до самой сути и понять, скажем, почему «плюс» на «минус» дает «минус». А иногда сорванцы специально задают каверзные вопросы, дабы насладиться моментом, когда взрослые не могут дать вразумительного ответа. И совсем уж беда, если впросак попадает молодой учитель…

357931.jpgКстати, следует отметить, что упомянутое выше правило действенно как для умножения, так и для деления. Произведение отрицательного и положительного числа даст лишь «минус. Если речь идет о двух цифрах со знаком «-», то в результате получится положительное число. То же касается и деления. Если одно из чисел будет отрицательным, то частное тоже будет со знаком «-».

Для объяснения правильности этого закона математики, необходимо сформулировать аксиомы кольца. Но для начала следует понять, что это такое. В математике кольцом принято называть множество, в котором задействованы две операции с двумя элементами. Но разбираться с этим лучше на примере.

Аксиома кольца

Существует несколько математических законов.

  • Первый из них переместительный, согласно ему, C + V = V + C.
  • Второй называется сочетательным (V + C) + D = V + (C + D).

Им же подчиняется и умножение (V х C) х D = V х (C х D).

Никто не отменял и правил, по которым открываются скобки (V + C) х D = V х D + C х D, также верно, что C х (V + D) = C х V + C х D.

357933.jpg

Кроме того, установлено, что в кольцо можно ввести специальный, нейтральный по сложению элемент, при использовании которого будет верно следующее: C + 0 = C. Кроме того, для каждого C есть противоположный элемент, который можно обозначить, как (-C). При этом C + (-C) = 0.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий