Произведение чисел что это такое в математике

Содержание

Арифметические действия с числами
Скалярное произведение и его свойства
Скалярное произведение в координатах
Как найти разность величин
Школьные сочинения

Арифметические действия с числами

Основными арифметическими действиями в математике являются:

сложение;
вычитание;
умножение;
деление.

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

сумма — результат, получившийся при сложении чисел;
разность — результат, получившийся при вычитании чисел;
произведение — результат умножения чисел;
частное — результат деления.

Это интересно: что такое модуль числа?

Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

сумма — прибавить;
разность — отнять;
произведение — умножить;
частное — разделить.

Разность в математике

Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.
Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
Это вычитание одного числа из другого.
Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.

Видео: Математика 6 Делимость суммы и разности чисел

И все эти определения являются верными.

Как найти разницу величин

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.

Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Скалярное произведение и его свойства

Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover></math>:

Диагноз “Зрение 0,5” – это приговор или нет?

коммутативность <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>;
дистрибутивность<math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>, <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>;
сочетательное свойство <math><mo>(</mo><mi>λ</mi><mo>·</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>λ</mi><mo>·</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>,<math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mi>λ</mi><mo>·</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>λ</mi><mo>·</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>, <math><mi>λ</mi></math> – любое число;
скалярный квадрат всегда больше нуля <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>≥</mo></math>, где <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo></math> в том случае, когда <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> нулевой.

Пример 1

Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

Доказать свойство коммутативности <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>. Из определения имеем, что <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub></math> и <math><mo>(</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></math>.

По свойству коммутативности равенства <math><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub></math> и <math><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></math> верны, значит <math><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></math>.

Отсюда следует, что <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>. Что и требовалось доказать.

Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

и <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><msup><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>)</mo></math>,

отсюда имеем

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></math>.

При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo></math> в декартовой системе используют:

<math><mfenced><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub></math>,

для трехмерного пространства применимо выражение:

Фактически это является третьим определением скалярного произведения.

Докажем это.

10 основных случаев постановки запятых: примеры из цитат. Часть 2

Доказательство 1

Для доказательства используем <math><mfenced><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>·</mo><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfenced><mover><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow><mo>^</mo></mover></mfenced><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub></math> для векторов <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo></math> на декартовой системе.

Следует отложить векторы

<math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></mrow></mfenced></math> и <math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub></mrow></mfenced></math>.

Тогда длина вектора <math><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math>будет равна <math><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo></math>.

Рассмотрим треугольник <math><mi>O</mi><mi>A</mi><mi>B</mi></math>.

<math><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>·</mo><mi>O</mi><mi>B</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mo>∠</mo><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>B</mi><mo>)</mo></math> верно , исходя из теоремы косинусов.

По условию видно, что <math><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>O</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mo>∠</mo><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mfenced><mover><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow><mo>^</mo></mover></mfenced></math>, значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе

<math><msup><mfenced><mrow><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>·</mo><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mover><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow><mo>^</mo></mover><mo>)</mo></math>.

Тогда из первого определения следует, что <math><msup><mfenced><mrow><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>, значит <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><msup><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mfenced><mrow><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></math>.

Применив формулу вычисления длины векторов, получим:<math><mfenced><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><mo>(</mo><msqrt><msub><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msqrt><msub><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msup><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt><msup><mrow><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mo>(</mo><msqrt><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><msub><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>y</mi></msub><mo>+</mo><msub><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub></math>

Докажем равенства:

– соответственно для векторов трехмерного пространства.

Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>z</mi></msub><mo>)</mo></math> и <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></math>.

Как найти разность величин

Разность – это результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, с которого делается вычитание, называют уменьшаемым, а второе число называется вычитаемым, его как раз вычитают из первого числа. Итак, чтобы найти значение разности чисел нужно просто от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Тут все предельно просто, но при этом у нас появилось еще два дополнительных термина, которые также надо знать:

Уменьшаемое – математическое число, от которого отнимают, в результате оно уменьшается.
Вычитаемое – это то математическое число, которое вычитают от уменьшаемого.

Итого, для того, чтобы найти разность необходимо знать значение уменьшаемого и вычитаемого, они должны быть известны.

Порой необходимо решить задачу обратную, при известной разности найти уменьшаемое или вычитаемое число. Сделать это тоже просто:

Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Скалярное произведение векторов: свойства, примеры вычисления, физический смысл