Скалярное произведение векторов: свойства, примеры вычисления, физический смысл

Арифметические действия с числами

Основными арифметическими действиями в математике являются:

  • сложение;
  • вычитание;
  • умножение;
  • деление.

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

  • сумма — результат, получившийся при сложении чисел;
  • разность — результат, получившийся при вычитании чисел;
  • произведение — результат умножения чисел;
  • частное — результат деления.

Это интересно: что такое модуль числа?

Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

  • сумма — прибавить;
  • разность — отнять;
  • произведение — умножить;
  • частное — разделить.

Разность в математике

Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

  • Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.
  • Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
  • Это вычитание одного числа из другого.
  • Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
  • Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
  • Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
  • Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
  • Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.

Видео: Математика 6 Делимость суммы и разности чисел

И все эти определения являются верными.

Как найти разницу величин

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

  • Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

  • Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

  • Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
  • Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.

Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

  • Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
  • Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Скалярное произведение и его свойства

Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover></math>:

  1. коммутативность <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>;
  2. дистрибутивность<math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>, <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>;
  3. сочетательное свойство <math><mo>(</mo><mi>λ</mi><mo>·</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>λ</mi><mo>·</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>,<math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mi>λ</mi><mo>·</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>λ</mi><mo>·</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>, <math><mi>λ</mi></math> — любое число;
  4. скалярный квадрат всегда больше нуля <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>≥</mo></math>, где <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo></math> в том случае, когда <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> нулевой.
Пример 1

Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

Доказать свойство коммутативности <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>. Из определения имеем, что <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub></math> и <math><mo>(</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></math>.

По свойству коммутативности равенства <math><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub></math> и <math><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></math> верны, значит <math><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></math>.

Отсюда следует, что <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>. Что и требовалось доказать.

Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

<math><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>

и <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><msup><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>)</mo></math>,

отсюда имеем

<math><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mover><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> и <math><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></math>.

При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo></math> в декартовой системе используют:

<math><mfenced><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub></math>,

для трехмерного пространства применимо выражение:

<math><mfenced><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>z</mi></msub></math>.

Фактически это является третьим определением скалярного произведения.

Докажем это.

Доказательство 1

Для доказательства используем <math><mfenced><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>·</mo><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>·</mo><mi>cos</mi><mfenced><mover><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow><mo>^</mo></mover></mfenced><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub></math> для векторов <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo></math> на декартовой системе.

Следует отложить векторы

<math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub></mrow></mfenced></math> и <math><mover><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub></mrow></mfenced></math>.

Тогда длина вектора <math><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math>будет равна <math><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>)</mo></math>.

Рассмотрим треугольник <math><mi>O</mi><mi>A</mi><mi>B</mi></math>.

<math><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>·</mo><mi>O</mi><mi>B</mi><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mo>∠</mo><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>B</mi><mo>)</mo></math> верно , исходя из теоремы косинусов.

По условию видно, что <math><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>O</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mo>∠</mo><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mfenced><mover><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow><mo>^</mo></mover></mfenced></math>, значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе

<math><msup><mfenced><mrow><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>·</mo><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mover><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow><mo>^</mo></mover><mo>)</mo></math>.

Тогда из первого определения следует, что <math><msup><mfenced><mrow><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></math>, значит <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><msup><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mfenced><mrow><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>-</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></math>.

Применив формулу вычисления длины векторов, получим:<math><mfenced><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><mo>(</mo><msqrt><msub><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msqrt><msub><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msup><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></msqrt><msup><mrow><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mo>(</mo><msqrt><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>·</mo><mo>(</mo><msub><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>y</mi></msub><mo>+</mo><msub><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>-</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><msup><mo>)</mo><mn>2</mn></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub></math>

Докажем равенства:

<math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>·</mo><mfenced><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>·</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mover><mrow><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow><mo>^</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mo>·</mo><msub><mi>b</mi><mi>z</mi></msub></math>

– соответственно для векторов трехмерного пространства.

Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. <math><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>z</mi></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mi>x</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>y</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mi>z</mi></msub><mo>)</mo></math> и <math><mo>(</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>x</mi></msub><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><msub><mi>a</mi><mi>y</mi></msub><mn>2</mn></msup></math>.

Как найти разность величин

Разность – это результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, с которого делается вычитание, называют уменьшаемым, а второе число называется вычитаемым, его как раз вычитают из первого числа. Итак, чтобы найти значение разности чисел нужно просто от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Тут все предельно просто, но при этом у нас появилось еще два дополнительных термина, которые также надо знать:

  • Уменьшаемое – математическое число, от которого отнимают, в результате оно уменьшается.
  • Вычитаемое – это то математическое число, которое вычитают от уменьшаемого.

Итого, для того, чтобы найти разность необходимо знать значение уменьшаемого и вычитаемого, они должны быть известны.

Порой необходимо решить задачу обратную, при известной разности найти уменьшаемое или вычитаемое число. Сделать это тоже просто:

  • Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
  • Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Школьные сочинения

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий