Объем правильного тетраэдра

Типы тетраэдров

Равногранный тетраэдр

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Задачи

Рёбра равногранного тетраэдра равны a, b,c. Вычислите объём тетраэдра V, и радиус описанной сферы R. В равногранном тетраэдре ABCD опущена высота AH; H1 – точка пересечения высот грани BCD; h1, h2 – длины отрезков, на которые одна из высот грани BCD делится точкой H1.

а) докажите, что точки H и H1 симметричны относительно центра описанной окружности треугольника BCD.

б) докажите, что AH2=4h1h2. Докажите, что в равногранном тетраэдре центры 4 вневписанных шаров являются вершинами тетраэдра равного данному и радиус вписанного шара в 2 раза меньше вневписанного шара.

Решения

1. Достроим данный тетраэдр до прямоугольного па­раллелепипеда; пусть х, у и z — ребра этого параллелепипеда. Тогда х2 + у2 = а2, у2 + z2 = b2 и z2 + х2 == с2. Так как R == d/2, где d — диагональ параллелепи­педа, а d2 = x2 + y2 + z2, то R2 == (x2 + y2 + z2)/4 == (а2 + b2 +c2)/8.

Складывая равенства х2 + у2 = а2 и z2 + x2 == с2 и вычитая из них равенство y2 + z2 = b2, получаем x2 = (a2+c2-b2)/2 . Аналогично находим у2 и z2. Так как объем тетраэдра в три раза меньше объема параллелепипеда, то V2 = (xyz)2/9 = (а2 + b2 — c2) (а2 + c2 — b2) (c2 + b2 — a2)/72

2. Достроим данный тетраэдр до прямоугольного парал­лелепипеда. Пусть AA1 — его диагональ, О — его центр. Точка H1 является проекцией точки A1 на грань BCD, а центр O1 описанной окружности треугольника BCD — проек­цией точки О. Так как О — середина отрезка AA1, точки H и H1 симметричны относительно O1.

Рассмотрим проекцию параллелепипеда на плоскость, пер­пендикулярную BD (рис. => в дальнейшем решении исполь­зуются обозначения этого рисунка, а не обозначения в пространстве). Высота СС’ треугольника BCD параллельна плоскости проекции, поэтому длины отрезков ВH1 и СН1 равны h1 и h2, длины отрезков АН и А1Н1 при проецировании не измени­лись. Так как АН : A1H1 = АС : А1В = 2 и A1H1 : ВН1 = CH1 : A1H1, то АН2 = 4(H1A1)2 = 4h1h2.

3. Достроим данный тетраэдр до прямоугольного парал­лелепипеда. Точка пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов тетраэдра (т. е. центр впи­санного шара) совпадает с центром О параллелепипеда. Рассмат­ривая проекции на плоскости, перпендикулярные ребрам тет­раэдра, легко проверить, что грани тетраэдра удалены от вер­шин параллелепипеда, отличных от вершин тетраэдра, вдвое больше, чем от точки О. Следовательно, эти вершины являются центрами вневписанных шаров. Этим доказаны оба утверж­дения.

Подпишитесь на рассылку:

Свойства тетраэдра

• Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
• Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части^[3]:216-217.
• Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся ребер (не имеющих общих вершин).

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
• Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр^[6].

Вывод формулы высоты тетраэдра

Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольниковABC и ABS:

[CF = FS = frac{sqrt{3}}{2}a ; CS = a ]

Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольникаCFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).

[p = frac{1}{2}(a + afrac{sqrt{3}}{2} + afrac{sqrt{3}}{2}) ] [p = frac{1}{2} a (1 + sqrt{3}) ] [h = 2 frac[-2.4]{ sqrt{p (p-a) (p-(afrac{sqrt{3}}{2})) (p-(afrac{sqrt{3}}{2})) }}{afrac{sqrt{3}}{2}}] [h = 2 frac[-2.4]{sqrt{(frac{a}{2})^4 (sqrt{3}+1) (sqrt{3}-1)}}{afrac{sqrt{3}}{2}} = sqrt[-1.0]{frac{2}{3}} a ]