Материал к урокам по теме «Квадратные уравнения», 8 класс

Определение дискриминантаПравить

Дискримина́нтмногочлена<math><semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>a</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>x</mi><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+…+a_{n}x^{n}}</annotation></semantics></math>, есть произведение

<math><semantics><mrow><mstyle><mi>D</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><munder><mo>∏</mo><mrow><mi>i</mi><mo><</mo><mi>j</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msub><mi>α</mi><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>α</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow>{displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}prod _{i<j></semantics></math>, где <math><semantics><mrow><mstyle><msub><mi>α</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle alpha _{1},alpha _{2},…,alpha _{n}}</annotation></semantics></math> — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Теория по квадратным уравнениям

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадратным уравнением называется уравнение вида , где quicklatex.com-e0a78932ac3f318ea9dc5c7f7aeea1ed_l3.png .

Возможны такие случаи:

, тогда имеем квадратное уравнение вида и .

, тогда имеем квадратное уравнение вида , если 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» /> – корней нет.

, тогда имеем квадратное уравнение вида .

, тогда имеем полное квадратное уравнение , которое решается или с помощью дискриминанта:

Или по теореме Виета:

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: (x_{1}=)(frac{-b+sqrt{D}}{2a}) и (x_{2}=)(frac{-b-sqrt{D}}{2a}).  И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль.  Тогда получается:

(x_{1}=)(frac{-b+sqrt{D}}{2a})(=)(frac{-b+sqrt{0}}{2a})(=)(frac{-b+0}{2a})(=)(frac{-b}{2a})

(x_{2}=)(frac{-b-sqrt{D}}{2a})(=)(frac{-b-sqrt{0}}{2a})(=)(frac{-b-0}{2a})(=)(frac{-b}{2a})

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2-4x+4=0)Решение:

                              

(a=1;)      (b=-4;)      (c=4;)

 
 

Находим корни уравнения

(x_{1}=)(frac{-(-4)+sqrt{0}}{2cdot1})(=)(frac{4}{2})(=2) (x_{2}=)(frac{-(-4)-sqrt{0}}{2cdot1})(=)(frac{4}{2})(=2)

Ответ: (x=2)

На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс.  Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция (y=x^2-4x+4) будет выглядеть вот так:

3f9f7ffba986121f9d1c79475ef5f6ce.png

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит (x_{1}) и (x_{2}) будут различны по значению, ведь в первой формуле (sqrt{D}) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+2x-3=0)Решение:

(x^2+2x-3=0)

                              

Выписываем коэффициенты:

(a=1;)      (b=2;)      (c=-3;)

 
 

Найдем корни уравнения

(x_{1}=)(frac{-2+sqrt{16}}{2cdot1})(=)(frac{2}{2})(=1) (x_{2}=)(frac{-2-sqrt{16}}{2cdot1})(=)(frac{-6}{2})(=-3)

Ответ: (x_{1}=1);    (x_{2}=-3)

На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения.  И это логично. Вдумайтесь – если уравнение (x^2+2x-3=0) имеет корни (x_{1}=1) и (x_{1}=-3), значит при подстановке (1) и (-3) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию (y=x^2+2x-3) получим (y=0). То есть, функция (y=x^2+2x-3) проходит через точки ((1;0)) и ((-3;0)) (подробнее смотри статью Как построить график функции). 

fb4b2d225552fc4d38144550d56dd9d0.png

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий