Содержание
Определение дискриминантаПравить
Дискримина́нтмногочлена<math><semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>a</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>x</mi><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+…+a_{n}x^{n}}</annotation></semantics></math>, есть произведение
- <math><semantics><mrow><mstyle><mi>D</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><munder><mo>∏</mo><mrow><mi>i</mi><mo><</mo><mi>j</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msub><mi>α</mi><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>α</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow>{displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}prod _{i<j></semantics></math>, где <math><semantics><mrow><mstyle><msub><mi>α</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{displaystyle alpha _{1},alpha _{2},…,alpha _{n}}</annotation></semantics></math> — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.
Теория по квадратным уравнениям
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадратным уравнением называется уравнение вида , где 
.
Возможны такие случаи:
, тогда имеем квадратное уравнение вида и .
, тогда имеем квадратное уравнение вида , если 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> – корней нет.
, тогда имеем квадратное уравнение вида .
, тогда имеем полное квадратное уравнение , которое решается или с помощью дискриминанта:
Или по теореме Виета:
Если дискриминант равен нулю
А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.
Формулы корней выглядят так: (x_{1}=)(frac{-b+sqrt{D}}{2a}) и (x_{2}=)(frac{-b-sqrt{D}}{2a}). И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль. Тогда получается:
(x_{1}=)(frac{-b+sqrt{D}}{2a})(=)(frac{-b+sqrt{0}}{2a})(=)(frac{-b+0}{2a})(=)(frac{-b}{2a})
(x_{2}=)(frac{-b-sqrt{D}}{2a})(=)(frac{-b-sqrt{0}}{2a})(=)(frac{-b-0}{2a})(=)(frac{-b}{2a})
То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.
Пример: Найдите корни уравнения (x^2-4x+4=0)Решение:
|
(a=1;) (b=-4;) (c=4;) |
|
|
Находим корни уравнения |
|
|
(x_{1}=)(frac{-(-4)+sqrt{0}}{2cdot1})(=)(frac{4}{2})(=2) (x_{2}=)(frac{-(-4)-sqrt{0}}{2cdot1})(=)(frac{4}{2})(=2) |
Ответ: (x=2)
На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс. Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция (y=x^2-4x+4) будет выглядеть вот так:
Если дискриминант положителен
В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит (x_{1}) и (x_{2}) будут различны по значению, ведь в первой формуле (sqrt{D}) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.
Пример: Найдите корни уравнения (x^2+2x-3=0)Решение:
|
(x^2+2x-3=0) |
Выписываем коэффициенты: |
|
|
(a=1;) (b=2;) (c=-3;) |
||
|
Найдем корни уравнения |
||
|
(x_{1}=)(frac{-2+sqrt{16}}{2cdot1})(=)(frac{2}{2})(=1) (x_{2}=)(frac{-2-sqrt{16}}{2cdot1})(=)(frac{-6}{2})(=-3) |
Ответ: (x_{1}=1); (x_{2}=-3)
Ⓘ Мах, единица измерения ..На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения. И это логично. Вдумайтесь – если уравнение (x^2+2x-3=0) имеет корни (x_{1}=1) и (x_{1}=-3), значит при подстановке (1) и (-3) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию (y=x^2+2x-3) получим (y=0). То есть, функция (y=x^2+2x-3) проходит через точки ((1;0)) и ((-3;0)) (подробнее смотри статью Как построить график функции).
