Содержание
Главное свойство корня
Как известно, в математике у любого действия есть обратное. У сложения – вычитание, у умножения – деление. Обратное действие возведению в квадрат – извлечение квадратного корня. Поэтому эти действия компенсируют друг друга:
((sqrt{a})^2=a)
Это и есть главное свойства корня, которое чаще всего используется (в том числе и в ОГЭ)
Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения (frac{(2sqrt{6})^2}{36})
Решение: (frac{(2sqrt{6})^2}{36}=frac{4 cdot (sqrt{6})^2}{36}=frac{4 cdot 6}{36}=frac{4}{6}=frac{2}{3})
Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения ((sqrt{85}-1)^2)
Решение:
|
((sqrt{85}-1)^2=) |
Раскроем скобку по формуле сокращенного умножения |
|
(=(sqrt{85})^2-2sqrt{85}+1=) |
|
|
(=85-2sqrt{85}+1=) |
Приведем подобные слагаемые |
|
(=86-2sqrt{85}) |
Ответ: (86-2sqrt{85})
Конечно, при работе с квадратным корнем нужно использовать и другие свойства.
Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения (5sqrt{11} cdot 2sqrt{2}cdot sqrt{22}) Решение:
Корень n-ой степени (10-11 класс). Как вычислить корень n-ой степени?|
Перемножим числа без корня, а числа с корнем запишем под одним знаком, по свойству: (sqrt{a}cdot sqrt{b}=sqrt{a cdot b}) |
|
(=10 sqrt {11 cdot 2 cdot 22}=10sqrt{(22)^2} ) |
Ответ: (220)
История степени числа
Еще в Древнем Египте люди заметили, что не всегда удобно умножать одно число много раз. Ведь по правилам оформления записей требовалось описывать все действия с математическими числами. Вот и приходилось жрецам прописывать одно и то же число десять, а то и двадцать раз. Со временем записи стали понемногу упрощать, пока один из мудрецов, по имени Диофант Александрийский. Количество раз, умноженные на одно и то же число, стали записывать в правом верхнем углу, как это принято и по сей день.
Далее, француз по имени Никола Шюке ввел термин не только положительной, но и отрицательной степени. Спустя некоторое время он же добавил ко всем своим многолетним трудам нулевой показатель степени.
Как извлечь квадратный корень из числа?
Чтобы извлечь квадратный корень из числа, надо задать себе вопрос: какое число в квадрате даст выражение под корнем?
Например. Извлеките корень: а)(sqrt{2500}); б) (sqrt{frac{4}{9}}); в) (sqrt{0,001}); г) (sqrt{1frac{13}{36}})
а) Какое число в квадрате даст (2500)?
(sqrt{2500}=50)
б) Какое число в квадрате даст (frac{4}{9})?
(sqrt{frac{4}{9}})(=)(frac{2}{3})
Ответы: Найдите наименьший положительный корень уравнения sin пx/3=минусом корень из 3/2...в) Какое число в квадрате, даст (0,0001)?
(sqrt{0,0001}=0,01)
г) Какое число в квадрате даст (sqrt{1frac{13}{36}})? Чтобы дать ответ на вопрос, нужно перевести смешанную дробь в неправильную.
(sqrt{1frac{13}{36}}=sqrt{frac{49}{16}}=frac{7}{6})
Замечание: Хотя (-50), (-frac{2}{3}), (-0,01),(- frac{7}{6}), тоже отвечают на поставленные вопросы, но их не учитывают, так как квадратный корень – всегда положителен.
Формулы корней n-ой степени и их свойства
- Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:(sqrt[n] { a } )^k =sqrt[n] { a^k }
- Чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней:sqrt[n] { sqrt[k] { a } } =sqrt[n*k] { a }
- Значение корня не изменится, если одновременно его показатель увеличить в k раз и подкоренное значение возвести в степень k:sqrt[n] { a^m } = sqrt[n*k] { a^ { m*k } }
- Корень из произведения равен произведению корней:sqrt[n] { a*b } = sqrt[n] { a } * sqrt[n] { b }
- Корень из дроби – это корень из числителя и корень из знаменателя:sqrt[n] { frac { a } { b } } = frac { sqrt[n] { a } } { sqrt[n] { b } }
- Корень из n-ой степени в степени n(sqrt[n] { a } )^n =a
- Корень из квадрата:(sqrt { a^2 } ) = |a|
