Решение
а) ОДЗ: begin{cases} tgxgeqslant 0\xneq fracpi 2+pi k,k in mathbb Z. end{cases}
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
left[!!begin{array}{l} 2 sin ^2 4x-3 cos 4x=0,\tg x=0. end{array}right.
Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену cos 4x=t, t in [-1; 1]. Тогда sin^24x=1-t^2. Получим:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=frac12, t_2=-2, t_2notin [-1; 1].
cos 4x=frac12,
4x=pm fracpi 3+2pi n,
x=pm fracpi {12}+frac{pi n}2, n in mathbb Z.
Решим второе уравнение.
tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком «+» отмечены 1-я и 3-я четверти, в которых tg x>0.
Получим: x=pi k, k in mathbb Z; x=fracpi {12}+pi n, n in mathbb Z; x=frac{5pi }{12}+pi m, m in mathbb Z.
б) Найдём корни, принадлежащие промежутку left( 0;,frac{3pi }2right].
x=fracpi {12}, x=frac{5pi }{12}; x=pi ; x=frac{13pi }{12}; x=frac{17pi }{12}.