Производная сложной функции. Примеры.

Вторая производная

Можно вычислить и “производную производной”, обозначается она как y’’. Если использовать предыдущий пример:

y = x² – 6x + 17

• её производная y’ = 2x – 6
• вторая производная y’’ = (2x – 6)’ = 2

Её физический смысл: это скорость изменения скорости движения точки, которая принадлежит графику функции.

Понятие производной

Производная функции − это результат дифференцирования функции.

Дифференцирование в математике — это процесс, при котором функция f превращается в другую функцию f’ (“производная от f”).

Простыми словами, производная — это средний наклон между двумя точками:

Интегрирование — это обратный процесс, т. е. восстановление функции по данной производной.

Например, функция x² (на графике выше) является одним из интегралов от 2x (пунктирная синяя линия), поскольку производная x² равна 2x.

Как определить знак производной?

1. Определить точки, в которых производная равна нулю (также называются критическими точками).

2. Начертить таблицу, в которую вставляются все критические точки, а между ними оставляются незаполненными по одному окошку.

3. Выбрать значения x до и после полученного интервала, подставить в производную. Если значение получилось больше нуля, то знак будет плюс, если меньше — минус.

Пример:

y = x² – 6x + 17

Её производная y’ = 2x – 6.

Расчёт критических точек:

y’ = 0

2x – 6 = 0

2x = 6

x = 3

Значит в нашей таблице будет только одна критическая точка x = 3, и оставим место на “до” и “после”.

Далее выбираем любой x сначала меньше 3, а потом больше 3.

1. для x < 3 выбираем, например, x = 1 и подставляем в производную y’ = 2x – 6 ⇔ y’(1) = 2 * 1 – 6 = -4 значит в таблицу записываем “–” (это означает, что в этой точке функция убывает).

2. для x > 3 выбираем, например, x = 4 и подставляем в производную y’ = 2x – 6 ⇔ y’(4) = 2 * 4 – 6 = 2 >0, значит в таблицу записываем “+” (это означает, что в этой точке функция возрастает).

Геометрический смысл производной функции

Производная функции f(x) в данной точке — это наклон касательной f(x) в точке a, как показано на рисунке.

Эта прямая линия образует угол, который на данном рисунке мы назвали β и он зависит от наклона касательной (она является производной в данной точке). Таким образом: tan β = f´(a).

Физический смысл производной функции

Представьте точку, которая движется по прямой с постоянно меняющейся скоростью. Её скорость постоянно меняется, поэтому она рассчитывается в момент “t0”. Для этого нам нужно рассчитать короткий промежуток времени Δt, а расстояние, которое точка пройдёт за это время будет ΔS.

Таким образом её скорость будет примерно ΔS / Δt. Чем меньше промежуток времени Δt, тем точнее будет результат (скорость). Самую точную мгновенную скорость точки в момент t0 можно получить, если рассчитать предел Δt —>0. Таким образом: