Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Через сторону

{S= dfrac{n cdot a^2}{4 cdot tg( dfrac{180degree}{n})}}

Формула для нахождения площади правильного многоугольника через сторону:

{S= dfrac{n cdot a^2}{4cdot tg (frac{180degree}{n})}}, где a — сторона многоугольника, n — число сторон многоугольника.

Через радиус вписанной окружности

{S= r^2 cdot n cdot tg (dfrac{180degree}{n})}

Формула для нахождения площади правильного многоугольника через радиус вписанной окружности:

{S= r^2 cdot n cdot tg (frac{180degree}{n})}, где r — радиус вписанной окружности, n — число сторон многоугольника.

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольнику – квадрат.

Формулы правильного четырехугольника:

1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r

2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:

S = a²

6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

S = 4 r²

7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

S =  2 R²

8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:

α = 90°

Смотрите также формулы и свойства квадрата

Производные фигуры

• Tiling Semiregular 4-8-8 Truncated Square.svg

  Усечённая квадратная мозаика имеет 2 восьмиугольника около каждой вершины.

  • 
  • 
  • 
  • 

Связанные многогранники

Восьмиугольник в качестве усечённогоквадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны:

a₁ = a₂ = a₃ = … = a_n-1 = a_n

2. Все углы равны:

α₁ = α₂ = α₃ = … = α_n-1 = α_n

3. Центр вписанной окружности O_в совпадает з центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольника O4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n – 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β₁ + β₂ + β₃ + … + β_n-1 + β_n = 360°

6. Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O