Формулы приведения. Как быстро получить любую формулу приведения

Формулы приведения: список и таблицы

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.

Сначала запишем все формулы приведения:

Для угла (`frac {pi}2 pm alpha`) или (`90^circ pm alpha`):

Для угла (`pi pm alpha`) или (`180^circ pm alpha`):

Для угла (`frac {3pi}2 pm alpha`) или (`270^circ pm alpha`):

Для угла (`2pi pm alpha`) или (`360^circ pm alpha`):

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Formuly_privedenija_v_radianah-—-копия.png

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(pi + alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin beta` и столбца ` pi + alpha`. Получим ` sin(pi + alpha)=-sin alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Formuly_privedenija_v_gradusah.png

Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить

Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.

Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.znaki_trigonometricheskih_funkcij.pngСамо привило содержит 3 этапа:

    1. Аргумент функции должен быть представлен в виде `frac {pi}2 pm alpha`, `pi pm alpha`, `frac {3pi}2 pm alpha`, `2pi pm alpha`, причем `alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
    2. Для аргументов `frac {pi}2 pm alpha`, `frac {3pi}2 pm alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `pi pm alpha`, `2pi pm alpha` функция не меняется.
    3. Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:

1. ` cos(pi + alpha)`.

Функция на противоположную не меняется. Угол ` pi + alpha` находится в III четверти, косинус в этой четверти имеет знак «-» , поэтому преобразованная функция будет также со знаком «-» .

Ответ: ` cos(pi + alpha)= — cos alpha`

2.  `sin(frac {3pi}2 — alpha)`.

Согласно мнемоническому правилу функция изменится на противоположную. Угол `frac {3pi}2 — alpha` находится в III четверти, синус здесь имеет знак «-» , поэтому результат также будет со знаком «-» .

Ответ: `sin(frac {3pi}2 — alpha)= — cos alpha`

3. `cos(frac {7pi}2 — alpha)`.

`cos(frac {7pi}2 — alpha)=cos(frac {6pi}2+frac {pi}2-alpha)=cos (3pi+(frac{pi}2-alpha))`. Представим `3pi` как `2pi+pi`. `2pi` — период функции.

Важно: Функции `cos alpha` и `sin alpha` имеют период `2pi` или `360^circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.

Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (pi+(frac{pi}2-alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (pi+(frac{pi}2-alpha)= — cos (frac{pi}2-alpha)= — sin alpha`.

Ответ: `cos(frac {7pi}2 — alpha)=- sin alpha`.

Лошадиное правило

Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?

Итак, мы имеем функции с аргументами `frac {pi}2 pm alpha`, `pi pm alpha`, `frac {3pi}2 pm alpha`, `2pi pm alpha`, точки `frac {pi}2`, `pi`, `frac {3pi}2`, `2pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `pi` и `2pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `frac {pi}2` и `frac {3pi}2` на вертикальной оси ординат.

Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка.

То есть для аргументов с ключевыми точками, расположенными на горизонтальной оси, мы отвечаем «нет», мотая головой в стороны. А для углов с ключевыми точками, расположенными на вертикальной оси, мы отвечаем «да», кивая головой сверху вниз, как лошадь 🙂

Рекомендуем посмотреть видеоурок, в котором автор подробно объясняет, как запомнить формулы приведения без заучивания их наизусть.

Тангенс угла — tg(A), таблица

°Тангенс угла 0 градусов $ tg(0°) = tg(0) = 0 $ 0.000
30°Тангенс угла 30 градусов $ tg(30°) = tg(frac[-1.5]{pi}{6}) = frac[-1.5]{1}{sqrt{3}} $ 0.577
45°Тангенс угла 45 градусов $ tg(45°) = tg(frac[-1.5]{pi}{4}) = 1 $ 1.000
60°Тангенс угла 60 градусов $ tg(60°) = tg(frac[-1.5]{pi}{3}) = sqrt{3} $ 1.732
90°Тангенс угла 90 градусов $ tg(90°) = tg(frac[-1.5]{pi}{2}) = ∞ $

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

495093c243f970419bdeed0ec1bf8410.png

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинусасинус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Функция:                Кофункция: (sin⁡) (a)          (→)            (cos⁡) (a) (cos⁡) (a)          (→)             (sin⁡) (a) (tg⁡) (a)            (→)            (ctg) (a) (ctg⁡) (a)          (→)             (tg) (a)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее. 

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для (⁡cos⁡(frac{3pi}{2}-a) =….) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что (a) – угол от (0) до (frac{pi}{2}), т.е. лежит в пределах (0°…90^°) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол (frac{3pi}{2}-a)? Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей (frac{3pi}{2}), повернуть в отрицательную сторону на угол (a).

fa1b672752868a06e6173c85a9972e81.png

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: (cos(frac{3pi}{2}-a)=-…)

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий